Классификация движений первого рода

Ранее мы показали, что параллельный перенос и поворот плоскости на угол a являются движениями первого рода. Теперь мы покажем, что движения плоскости первого рода исчерпываются этими движениями.

Для решения этой задачи рассмотрим инвариантные точки движения первого рода. Пусть движение f заданно в репере О формулами

(*)

Тогда нам необходимо найти точки М(х, у) такие, для которых М = f(M). Следовательно, нам необходимо решить систему уравнений (*)при условии, что х = х¢, y = y¢. Получим следующую систему

Определитель этой системы имеет вид

∆ = (1– cos a)² + sin² a = 1– 2 cos a + cos² a + sin² a = 2(1– cos a).

Если ∆ ¹ 0, то a ¹ 0 и в этом случае система имеет единственное решение, а значит движение f имеет единственную неподвижную точку (х₀; у₀)

Следовательно, имеем

(**)

Вычитая почленно (**) из (*) получим:

Полученные формулы определяют в репере R поворот плоскости вокруг точки М₀ (х₀; у₀) на угол a.

Если ∆ = 0, то a = 0. В этом случае формулы (*) принимают вид

Полученные формулы в репере R определяют параллельный перенос плоскости на вектор . Если при этом с₁ = с₂ = 0, то и мы имеем тождественное преобразование плоскости. Мы доказали теорему Шаля:

Теорема. Всякое движение плоскости первого рода является либо поворотом плоскости, либо параллельным переносом плоскости, в частности, тождественным преобразованием плоскости.

▄