Определение 1. Функция называется монотонно возрастающей на множестве , если для любой пары точек из условия следует, что , то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Определение 2. Функция называется монотонно убывающей на множестве , если для любой пары точек из условия следует, что , то есть большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Монотонно возрастающие и монотонно убывающие функции называют монотонными.
Монотонные функции обладают следующими свойствами:
1) сумма двух монотонно возрастающих (монотонно убывающих) функций является монотонно возрастающей (монотонно убывающей) функцией;
2) произведение двух положительных монотонно возрастающих (монотонно убывающих) функций является монотонно возрастающей (монотонно убывающей) функцией;
3) если функция монотонно возрастающая (монотонно убывающая), то функция монотонно убывающая (монотонно возрастающая);
4) если положительная функция является монотонно возрастающей (монотонно убывающей), то функция является монотонно убывающей (монотонно возрастающей);
|
|
5) если функция монотонная, то она имеет обратную функцию.
Определение 3. Функция называется ограниченной сверху на множестве , если существует такое число М, что значение функции в любой точке не превосходит этого числа, то есть для любого выполняется неравенство .
Определение 4. Функция называется ограниченной снизу на множестве , если существует такое число m, что значение функции в любой точке не меньше этого числа, то есть для любого выполняется неравенство .
Ограниченная сверху и снизу на множестве Х функция называется ограниченной на этом множестве. Другими словами, если функция ограничена на множестве Х, то существуют такие числа m и М, что для всех . Условие ограниченности можно также записать в виде для некоторого положительного числа М.
Определение 5. Точка называется точкой максимума функции , если существует окрестность этой точки такая, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство .
Определение 6. Точка называется точкой минимума функции , если существует окрестность этой точки такая, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство .
Точки максимума и минимума называют точками экстремума функции.
Заметим, что функция в области своего определения может иметь несколько точек максимума или минимума.
Определение 7. Будем говорить, что в точке функция принимает наибольшее на множестве Х значение, если для всех точек справедливо неравенство .
Определение 8. Будем говорить, что в точке функция принимает наименьшее на множестве Х значение, если для всех точек справедливо неравенство .
|
|
Если множество Х представляет собой отрезок [ a; b ], то наибольшее и наименьшее значения функция принимает либо в точке экстремума, либо на конце отрезка.
Говорят, что множество Х симметрично относительно начала координат, если для любой точки противоположная точка .
Определение 9. Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно начала координат, и для любого .
Определение 10. Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно начала координат, и для любого .
График четной функции имеет ось симметрии: так как точки и принадлежат графику функции, то он симметричен относительно оси ординат. График нечетной функции имеет центр симметрии: так как точки и принадлежат графику функции, то он симметричен относительно начала координат.
Четные и нечетные функции обладают следующими свойствами:
1) сумма двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная);
2) произведение двух четных (нечетных) функций есть функция четная; произведение четной и нечетной функций есть функция нечетная;
3) если нечетная функция определена в нуле, то ;
4) всякая функция, определенная на множестве Х, симметричном относительно начала координат может быть представлена в виде суммы двух функций, определенных на Х, причем одна из этих функций является четной, а другая – нечетной.
Определение 11. Функция называется периодической, если существует такое число , что для любого точка и справедливо равенство .
Наименьшее из чисел Т в определении 11 называют периодом. Периодическая функция имеет бесконечно много периодов, все они кратны числу Т.
Все введенные в этом параграфе определения используются при исследовании функций и построении графиков.