Полная система расчетных уравнений эл. цепи

Для вычисления всех токов и напряжений в эл. цепи в общем случае нужно решить систему уравнений. Онаназывается полной системой расчетных уравнений эл. цепи. Ее можно записывать в разных формах. Мы рассмотрим классический вариант, когда система состоит из уравнений узлов и уравнений контуров. При этом ограничимся цепями, образованными соединением двухполюсников.

Прежде чем записывать уравнения, на всех ветвях схемы поставим стрелки тока и на всех элементах схемы поставим (или мысленно представим себе) стрелки напряжения. Затем составим уравнения системы, которые вначале разделим на три группы.

Рис. 7.1.

1) Уравнения узлов – это уравнения, составленные по 1-му закону Кирхгофа для всех узлов цепи, кроме одного (любого). Если в систему включить уравнения для всех узлов, она будет содержать избыточную информацию. Пример: На схеме рис. 7.1 исключим из рассмотрения узел № 4. Для остальных узлов получим уравнения: Узел № 1: Узел № 2: (7.1) Узел № 3:

Рис. 7.2.

2) Уравнения контуров – это уравнения, составленные по 2-му закону Кирхгофа для всех независимых контуров эл. цепи. Для цепи, схема которой нарисована без пересечения проводов, независимые контуры могут быть выбраны с помощью штриховки, линии которой не пересекают провода и элементы эл. цепи (рис.7.2).

Согласно штриховке рис. 7.2 на схеме рис. 7.1 выберем контуры, образованные ветвями, соединяющими узлы: 1-2, 2-3, 3‑1 (контур №1); 1-2, 2-4, 4-1 (контур №2); 3-2, 2‑4, 4-3 (контур №3). Запишем уравнения этих контуров:

Контур № 1:
Контур № 2:		(7.2)
Контур № 3:

3) Уравнения элементов. В полную систему расчетных уравнений цепи включаются уравнения всех ее элементов.

Пример: Уравнения элементов для цепи, изображенной на рис. 7.1:

(7.3)

Всего для схемы рис. 7.1 получаем 14 уравнений с 14 неизвестными. Это наиболее общая, но и самая громоздкая запись полной системы расчетных уравнений цепи.

Уравнения элементов (7.3) часто сразу подставляют в уравнения контуров (7.2), выражая напряжения через токи. В результате вместе с уравнениями узлов (7.1) получается классическая форма полной системы расчетных уравнений цепи. Ее часто называют системой уравнений Кирхгофа для эл. цепи:

(7.4)

При этом перед произведением i_kR_k ставится дополнительный знак "–", если стрелка тока i_k ориентирована противоположно направлению обхода контура; перед э.д.с. e_k ставится дополнительный знак "–", если стрелка этой э.д.с. ориентирована противоположно направлению обхода контура. Направление обхода выбирается произвольно.

Решив полученную систему уравнений, найдем токи всех ветвей цепи. Зная токи, с помощью уравнений элементов и второго закона Кирхгофа можно рассчитать все напряжения цепи. Однако, полная система расчетных уравнений цепи чаще всего бывает полезна как теоретическая основа для более удобных практических методов.