Примеры выполения заданий

При решении задач о разложении функции f(x) в ряд Фурье следует:

1) нарисовать график f(x) на промежутке хотя бы длиной в два периода, чтобы показать, что данная функция периодическая;

2) нарисовать график S(x) аналогично, чтобы было видно в каких точках f(x)¹S(x);

3) вычислить коэффициенты Фурье и записать ряд Фурье.

Задачи

№1. Разложить в ряд Фурье

Решение. Заметим, что f(x) задана на промежутке длины T = 4. Т.к. f(x) предполагается периодической, то именно это число и является ее периодом, тогда ­ l = 2.

1) График f(x):

\

2) График S(x):

Стрелки в концах линий показывают, что функция не принимает в концах интервала значения, определяемого из выражения, заданного на интервале. При сравнении графиков f(x) и S(x) хорошо видно, что в точках разрыва f(x)¹S(x).

3) Вычислим коэффициенты Фурье. Это можно сделать по формулам (3*): ; ; . Именно: ; итак,

.

Разложение f(x) в ряд Фурье имеет вид:

Замечания. 1) При интегрировании на [-1;3] этот отрезок был разбит на [1;0] и [0;3], т.к. на этих отрезках f(x) задана разными значениями.

2) При вычислении коэффициентов использованы интегралы: и , где a = const.

№2. Разложить в ряд Фурье

Решение. Здесь T = 2, l = 1.

Ряд Фурье имеет вид: , где ; ; , т.к. l = 1.

1) График f(x):

2) График S(x):

3) ; .

; ; ;

Тогда

№3. Разложить в ряд Фурье по синусам

Решение. Заметим, что в ряд Фурье по синусам раскладываются только нечетные функции. Т.к. f(x) определена только для x > 0, xÎ(0;2)È(2;3), то это означает, что на симметричный промежуток (-3;-2)È(-2;0) f(x) нужно продолжить так, чтобы выполнялось равенство f(-x) = -f(x). Поэтому длина промежутка, на котором f(x) задана как нечетная функция, равна 6. Значит T = 6, l = 3. Ряд Фурье для f(x) имеет вид: , где , n = 1, 2, 3, (по формулам (5')).

1) График f(x).

Чтобы нарисовать график f(x) как нечетной функции, нарисуем сначала график на (0;2)È(2;3), а затем воспользуемся тем, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Из этих соображений получаем график f(x) на (-3;-2)È(-2;0). Затем продолжаем f(x) на всю числовую прямую как периодическую функцию с периодом T = 6.

2) График S(x).

График S(x) отличается от графика f(x) в точках разрыва функции f(x). Например, в т. x = 2 f(x) не определена, а S(x) имеет при x = 2 значение, равное полусумме односторонних пределов функции f(x), именно: , где , .

3)

.

Итак, , тогда разложение f(x) в ряд Фурье имеет вид: .

№4. Разложить в ряд Фурье по косинусам .

Решение. Заметим, что в ряд Фурье по косинусам раскладываются только четные функции. Т.к. f(x) задана только для x>0, xÎ(0;2)È(2;3], то это означает, что на симметричный промежуток [-3;-2)È(-2;0) f(x) нужно продолжить так, чтобы выполнялось равенство: f(-x) = f(x). Поэтому длина промежутка, на котором f(x) задана как четная функция, равна 6, тогда T = 6, l = 3. Ряд Фурье в этом случае имеет вид:

,

где ; ; n = 1,2,... (по формулам (4')).

1) График f(x).

Чтобы нарисовать график f(x) как четной функции, нарисуем сначала график f(x) на (0;2)È(2;3], а затем воспользуемся тем, что график четной функции симметричен относительно оси ординат. Из этих соображений получаем график f(x) на [-3;-2)È(-2;0). Затем продолжаем f(x) на всю числовую прямую как периодическую функцию с периодом T = 6.

Здесь график f(x) нарисован на двух полных периодах функции.

2) График S(x).

График S(x) отличается от графика f(x) в точках разрыва функции f(x). Например, в т. x = 0 f(x) не определена, а S(x) имеет значение: , поэтому график S(x) не прерывается в т. x = 0, в отличие от графика f(x).

3) ; .

;

Разложение f(x) в ряд Фурье по косинусам имеет вид: .

№5. Разложить в ряд Фурье f(x) = |x|, xÎ(-2;2)..

Решение. По условию, f(x) является четной функцией на (-2;2); т.е. ее ряд Фурье содержит только косинусы, при этом T = 4, l = 2, ,

где ; ; n = 1, 2,

1) График f(x):

2) График S(x):

3) , т.к. |x| = x для x > 0. ; .

Тогда разложение f(x) в ряд Фурье имеет вид: . Заметим, что при интегрировании выражений или применяется формула интегрирования по частям: , где u = x; dv = cos(ax)dx или dv = sin(ax)dx.

№6. Разложить функцию в ряд Фурье: а) в интервале (–?,?); б) в интервале (0, 2?); в) в интервале (0,?) в ряд синусов.

Решение. а) График функции с 2? - периодическим продолжением имеет вид

Функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и потому ее можно разложить в ряд Фурье.

Вычислим коэффициенты Фурье. Так как функция четная, то bn = 0 (n = 0, 1, 2,…) и (n = 0, 1, 2,…).

Для вычисления этого интеграла применяют формулу интегрирования по частям в определенном интеграле. Получаем

.

Ряд Фурье данной функции имеет вид . В силу признака Дирихле данный ряд представляет функцию х2 в интервале (–?,?).

б) Интервал (0, 2?) не симметричен относительно начала координат, а длина его 2 l = 2?. Вычисляем коэффициенты Фурье по формулам:

,

.

Поэтому ряд Фурье имеет вид . В силу теоремы Дирихле ряд сходится к порождающей функции в точках х?(0,2?), а в точках 0 и 2? к значению. График суммы ряда имеет вид

в) Функция, разлагаемая в ряд по синусам, должна быть нечетной. Следовательно, доопределим заданную функцию х2 в (–π,π) нечетным образом, т.е. рассматриваем функцию . Для этой функции f(x) имеем аn = 0 (n = 0, 1, 2,…) и

Искомое разложение имеет вид .

График суммы ряда имеет вид

Отметим, что в точках х = (–π,π) ряд Фурье сходится к нулю.

№7 Разложить в ряд Фурье функцию, заданную графически:

Решение. Получим явное выражение для f(x). График функции – прямая линия, используем уравнение прямой в виде . Как видно из чертежа, , т.е. f(x) = x – 1 (–1 < x < 1) и период Т = 2.

Эта функция удовлетворяет условиям признака Дирихле, поэтому она разлагается в ряд Фурье. Вычислим коэффициенты Фурье (l = 1):

; (n = 1, 2,…);

.

Ряд Фурье для функции f(x) имеет вид

.

Он представляет функцию f(x) при –1 < x < 1, а в точках х0 = –1 и х0 = 1 ряд сходится к –1.

№8. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье на отрезке и указать функцию, к которой сходится полученный ряд.

Решение. Нарисовать график функции, продолжив ее периодически с периодом или на всю ось. Продолженная функция имеет период .

Проверить условия достаточных признаков сходимости ряда Фурье (Дини-Липшица, Жордана, Дирихле).

Функция кусочно-монотонна на отрезке : она возрастает на и на . В точках функция имеет разрывы первого рода.

Выяснить четность или нечетность функции: Функция не является ни четной, ни нечетной.

Вычислить коэффициенты Фурье по формулам:

а) если функция задана на

,

б) если функция задана на

.

Составить ряд Фурье функции : .

Указать функцию, к которой будет сходиться этот ряд, пользуясь поточечными признаками сходимости: Согласно признаку Дирихле ряд Фурье функции сходится к сумме:

№9. Разложить функцию , в ряд Фурье по синусам на и с помощью этого разложения найти сумму числового ряда .

Решение. Продолжить функцию четным (нечетным) образом на (– p,0) или (– l,0), а затем периодически с периодом 2 p или 2 l продолжить функцию на всю ось.

Продолжим функцию нечетным образом на , а затем периодически, с периодом , продолжим ее на всю ось.

Нарисовать график периодического продолжения. Мы получим функцию вида:

Проверить условия достаточных признаков сходимости ряда Фурье (Дини-Липица, Жордана, Дирихле).

Функция кусочно-постоянна в промежутке : она равна –1 на и 1 на . В точках функция имеет разрывы первого рода.

Вычислить коэффициенты Фурье:

Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам:

Составить ряд Фурье функции . .

Указать функцию, к которой будет сходиться этот ряд, пользуясь поточечными признаками сходимости.

Согласно признаку Дирихле ряд Фурье функции сходится к сумме:

Следовательно, при

Подставив значения , указать сумму заданного числового ряда.

Полагая в полученном разложении , найдем ,

откуда, так как , .

№10. Написать равенство Парсеваля для функции , и, исходя из этого равенства, найти сумму числового ряда .

Решение. Установить, является ли данная функция функцией с интегрируемым квадратом на .

Функция непрерывна, а, следовательно, интегрируема на . По той же причине ее квадрат интегрируем на .

Вычислить коэффициенты Фурье по формулам:

Так как нечетная функция, то ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам:

Вычислить интеграл .

Написать формулу Парсеваля:

Таким образом, формула Парсеваля имеет вид

Произведя, если требуется, арифметические действия в правой и левой частях, получить сумму данного числового ряда.

Разделив обе части полученного равенства на 144, найдем: .

№11. Найти интеграл Фурье функции

и построить его график.

Решение. Построить график функции .

Проверить выполнение условий достаточных признаков сходимости интеграла Фурье (Дини, Дирихле-Жордана или следствий из них).

Функция абсолютно интегрируема в промежутке , непрерывна при и , а в точке имеет разрыв первого рода. Далее, при и функция имеет конечную производную, а в нуле существуют конечные правая и левая производные. Выяснить четность или нечетность функции. Функция не является ни четной, ни нечетной.

Вычислить коэффициенты по формулам:

Имеем:

откуда

Записать интеграл Фурье функции :

Указать функцию, к которой будет сходиться интеграл Фурье, пользуясь поточечными признаками сходимости.

Согласно следствию из признака Дини интеграл Фурье функции сходится всюду к функции

Построить график полученной функции

№12. Найти синус-преобразование Фурье функции

Решение. Проверить, будет ли заданная функция абсолютно интегрируемой на всей оси (в случае косинус- или синус-преобразования – на полупрямой ).

Функция абсолютно интегрируема на полупрямой , что следует из ее непрерывности на этом промежутке

Вычислить преобразование Фурье по формуле:

Ее синус-преобразование Фурье есть

№13. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию .

Решение. Сделать чертеж, при этом если функция задана лишь на периоде [например, на (–p,p)], продолжить ее периодически на всю числовую прямую

Y

-2π -π 0 π 2π 3π x

Проверить условие теоремы Дирихле для данной функции:

а) ограничена;

б) кусочно-монотонна;

а) ;

б) на (0, p) – постоянна, на (–p, 0) – возрастает;

Выяснить четность и нечетность функции

Вычислить коэффициент Фурье по формулам:

(n = 0, 1, …);

(n = 1, 2, …).

Для четных функций (n = 0, 1,);

(n = 1,2,…).

;

;

.

Составить ряд Фурье функции f(x), при этом в случае четной функции он должен содержать лишь косинусы, а для нечетной функции – лишь синусы

Сделать вывод о сходимости полученного ряда Фурье, используя правило: сумма ряда равна:

а) f(x) в тех внутренних точках интервала (-p, p), в которых функция непрерывна;

б) во всех точках разрыва функции f(x);

в) на концах интервала

Ряд сходится к f(x) при х Î (-p, p), в точках ±p сходится к

№14. Представить рядом Фурье в комплексной форме

f(x) = e^x, o£ x< 2p; T = 2p.

Решение. Здесь T = 2p Þ l = p и ряд Фурье имеет вид: , где .

1) График f(x):

2) График S(x):

. Итак, , или , xÎ[0;2p).

Заметим, что при вычислении c_k использовано свойство: , если f(x) – периодическая функция с периодом T = 2p.

№ 15. Представить рядом Фурье в комплексной форме f(x) = 2^x, xÎ(-1;1), T = 2.

Решение. Здесь T = 2, l = 1 и ряд Фурье имеет вид: , где .

1) График f(x):

2) График S(x):

3) ; .

Итак, , или ,

xÎ(-1;1).