Классификация математических моделей

Многообразие химико-технологических процессов и реализующих их аппаратов требует системного подхода при разработке общих принципов методологии математического моделирования. Наиболее общим понятием при этом для характеристики произвольного технологического объекта является понятие «Химико-технологическая система», которая на любом иерархическом уровне моделируемого объекта (отдельный процесс, отдельный аппарат, установка как совокупность ряда процессов и аппаратов, производство как совокупность ряда установок) представляет собой набор конкретных физико-химических процессов, протекающих в реальной аппаратуре, с учетом их взаимосвязи.

В общем случае любая химико-технологическая система (ХТС) имеет четыре вектора значений характерных параметров (рис. 1.1): – вектор значений параметров на входе в систему (расход и компонентный состав сырья, его температура, давление, конструктивные особенности аппаратуры и т.д.), – вектор значений параметров на выходе из системы (количество и качество конечных продуктов), – вектор значений параметров возмущения (независимые внешние воздействия на систему, например, температура окружающей среды, скорость ветра, и переменные, связанные с особенностями функционирования системы, например, дезактивация катализатора в ходе его эксплуатации, отложение примеси на поверхности теплообменной аппаратуры, приводящее к снижению коэффициента теплопередачи, а также незначительные изменения значений параметров, входящих в вектор (например, колебания расхода сырья во времени)), – вектор значений параметров управления процессом (температура, давление, теплоподвод, теплосъем, расход катализатора или реагента и т.д).

ХТС

Рис. 1.1.Структура параметров химико-технологической системы

Математическая модель формируется на базе математического описания процессов в общем случае в форме систем алгебраических, дифференциальных и интегральных уравнений, связывающих вектор значений параметров выхода с остальными векторами:

(1.1)

Одной из важнейших задач математического моделирования является представление в явной форме уравнений (1.1).

В зависимости от методического подхода к формированию математической модели различают два класса моделей: детерминированные и стохастические модели.

Детерминированные (в литературе встречаются и другие названия: причинные, структурные, знаковые) модели отражают детерминированную (причинную) сущность взаимосвязи явлений, когда можно теоретически обосновать причину, из-за которой произошло изменение поведения системы, разъясняют сущность взаимосвязи явлений, протекающих в моделируемой системе, описываемых уравнениями статики и динамики химических, физико-химических, гидродинамических, тепловых процессов химической технологии [1-10]. В качестве примера элемента детерминированной модели можно привести уравнение Аррениуса, описывающее влияние температуры на величину константы скорости химической реакции , справедливое для любых реакций:

, (1.2)

где – энергия активации, – универсальная газовая постоянная, – предэкспоненциальный множитель.

Часто детерминированные модели различных явлений, имеющих одинаковую причинную сущность, описываются одинаковыми по форме уравнениями с различным в силу научной традиции буквенными обозначениями параметров, например, уравнения, описывающие удельный (на единицу поверхности контакта) перенос тепла (закон Фурье)

, (1.3)

удельный перенос массы (закон Фика)

, (1.4)

удельное напряжение сдвига (закон Ньютона)

, (1.5)

где соответствующие удельные величины , и пропорциональны движущим силам процессов , и (где , , –соответственно температура, концентрация, скорость потока и длина пути переноса) через коэффициенты теплопроводности , диффузии и вязкости .

Стохастические (часто называемые в литературе эмпирическими и статистическими) отражают вероятностный (стохастический) характер явлений, когда рассчитывается не истинное значение параметров процесса, а вероятность их расчета в определенном интервале значений. Это связано, во-первых, с погрешностями практического измерения параметров и, во-вторых, с невозможностью учесть в математической модели все факторы (параметры), влияющие на протекание процесса и его конечные результаты (при этом следует учитывать, что все факторы, влияющие на протекание процесса могут быть и не известны разработчику модели, или он будет пренебрегать некоторыми малозначимыми факторами). Так, например, температура кипения веществ зависит от их молекулярной массы и строения молекул, однако взаимосвязь этих параметров в детерминированной модели требует проведения достаточно сложных, громоздких и далеко не для всех веществ пока возможно. Переход от детерминированной задачи к стохастической в результате обработки данных по большому количеству веществ позволило сформировать простое алгебраическое полиномиальное уравнение (формула Воинова) для расчета молекулярной массы узких нефтяных фракций по их средней температуре кипения (К):

. (1.6)

Стохастические модели, в отличие от детерминированных, не несут, как правило, информации о физической сущности решаемой задачи, однако их простота позволяет использовать их достаточно эффективно при выполнении моделирования химико-технологических процессов.

По объему математических моделей их также классифицируют как частные и полные модели. Под частной моделью понимают детерминированное или стохастическое описание какого-либо одного явления, реализуемого в изучаемом процессе. Наиболее часто используют следующие частные модели:

· частная химическая модель, рассматривающая химическую кинетику реакции в данном процессе; химическая модель позволяет рассчитать изменение состава реакционной смеси в ходе химического процесса, продолжительность пребывания реакционной смеси в зоне реакции при постоянной температуре процесса, получить исходную информацию об особенностях протекания процесса применительно к конкретной технологии;

· частная физико-химическая модель, рассматривающая особенности диффузии вещества в системе и расчет фазового равновесия;

· частная энергетическая модель, рассматривающая влияние температуры и изменения температуры на основные параметры системы: энергию активации, коэффициент диффузии, плотность вещества, его вязкость, теплоемкость и т.д.;

· частная гидродинамическая модель, рассматривающая особенности структуры потоков в аппарате и математическое описание гидродинамики аппарата, в частности, расчет времени пребывания технологического потока в аппарате в зависимости от его конструктивных особенностей и структуры потока;

· частная тепловая модель, рассматривающая теплотехнические характеристики процесса и его тепловой баланс, расчет теплообменных систем, встроенных в аппарат, характер изменения температуры по длине аппарата, влияние тепловых эффектов процесса на его реализацию;

· частная модель импульса, рассматривающая распределение давления в изучаемой системе, а так же влияние давления на некоторые параметры процесса, например, на плотность парового или газового технологического потока; эта модель также является базой прочностных расчетов аппаратуры;

· частная технико-экономическая модель, рассматривающая расчет специфических экономических факторов системы: энергозатраты, капитальные затраты, эксплуатационные затраты, себестоимость продукции, прибыль от ее реализации, рентабельность производства и т.д.

Полная модель ХТС представляет собой совокупность ряда частных моделей, рассматриваемых в их взаимосвязи. Полнота модели – число учитываемых частных моделей – зависит от глубины подхода к решению задачи моделирования, от требований, формируемых при разработке модели. Например, для разработки достаточно качественной математической модели реактора необходимо, как минимум, учитывать кинетическую, энергетическую, гидродинамическую и тепловую частные модели.

Разрабатываемые математические модели процесса должны быть адекватными реальному процессу, то есть результаты расчета процесса по математической модели должны с приемлемой точностью воспроизводиться при работе реального объекта.

Применение метода математического моделирования связано с большим объемом расчетов по модели, реализуемых на компьютерах, связанным в свою очередь с большим числом уравнений, входящих в математическое описание задачи (рис.1.2). Это формирует дополнительные задачи разработки оптимальных алгоритмов решения задачи с использованием высококачественных и быстродействующих программ расчета процесса по математической модели.

Алгоритм моделирования ХТП на основе математических моделей включает несколько структурных взаимосвязанных модулей, каждый из которых решает один из этапов моделирования. На рис.1.3 приведена принципиальная схема алгоритма моделирования, состоящая из 10 модулей.

Первый модуль это, как правило, модуль формирования исходных данных моделирования. На этом этапе на основе известных литературных данных собирается, перерабатывается и отбирается необходимая информация о моделируемом процессе – формируется набор уравнений математического описания процесса, анализируется состояние его аппаратурного оформления, комплектуется массив физико-химических констант в виде банка данных, необходимых для расчета по уравнениям математического описания и т.д. Первый модуль, как правило, формирует детерминированные математические модели.

Второй модуль – модуль поиска дополнительной информации, подключаемый при недостатке необходимых данных в первом модуле для выполнения расчетов, например, при отсутствии нужных уравнений или физико-химических констант. На этом этапе широко используется физический эксперимент (часто с элементами математического планирования эксперимента), позволяющий разработать недостающие зависимости в форме стохастических математических моделей, а также определять численные значения констант, являющихся параметрами детерминированных моделей первого модуля.

Начало

I III IV V VI

II X IX VIII VII

да

Конец нет

Рис. 1.3. Общий алгоритм компьютерного расчета ХТС

I-X – модули алгоритма

Третий модуль – модуль формирования математической модели ХТС. На этой стадии разрабатывается модель с последовательным переходом от низшего уровня иерархии моделируемого объекта к высшему – от единичного элементарного акта (например, проведение химического процесса на слое катализатора толщиной в одну гранулу) к реализации процесса в конкретном аппаратурном оформлении. На этой же стадии формируются начальные и конечные граничные условия реализации процесса в ХТС.

Четвертый модуль – модуль корректного упрощения математической модели. Для громоздких математических моделей с большим объемом последующих вычислений приходится искать пути упрощения модели, обеспечивающие сокращение затрат машинного времени на расчет без существенного (значимого) искажения результатов последующего моделирования по сравнению с моделированием на модели без упрощений. К подобным упрощениям можно отнести, например, допущение изотермичности режима работы реактора (при этом не требуется знание зависимости от температуры констант скоростей реакции, вязкости и скорости потока и т.д.), квазигомогенности среды (при этом можно не учитывать особенности процессов, протекающих на границе раздела фаз), постоянства относительных летучестей компонентов по высоте ректификационной колоны (что существенно упрощает расчет фазового равновесия на теоретических тарелках).

Пятый модуль – модуль выбора алгоритма решения математической модели. Как правило, решение модели требует применения численных методов расчета, при этом одна и та же задача может быть решена различными методами, отличающимися друг от друга быстродействием и сложностью программирования алгоритма (обычно при использовании простых методов расчета длительность решения задачи существенно (порой в десятки и сотни раз) больше, чем при использовании сложных алгоритмов).Так, например, при решении достаточно простой математической модели в форме алгебраического уравнения, решение которого сводится к нахождению корней уравнения (например, расчет температуры фазового равновесия в системе жидкость-пар), можно использовать методы сканирования, половинного деления, секущих, касательных и др.

Шестой модуль – модуль разработки программы расчета на одном из алгоритмических языков программирования, ее отладка и получение пробных решений. Для задач большого объема это один из наиболее трудоемких этапов компьютерного моделирования.

Седьмой модуль – модуль оценки адекватности разработанной математической модели. На этом этапе работы выполняется сопоставление результатов расчета по модели с практическими данными, полученными в ходе контрольных экспериментов на реальном объекте. В ряде случаев, когда отсутствуют данные по работе реального моделируемого объекта можно оценить адекватность разработанной модели косвенным образом, рассчитав по модели не изучаемый объект, а иной процесс или аппарат, функционирующий по аналогичным законам. Например, при разработке математической модели разделения многокомпонентной реакционной смеси в ректификационной колонне можно рассчитать по предлагаемой модели процесс ректификации бинарной смеси, состоящей из иных компонентов и сравнить результаты расчета с литературными данными по обследованию и анализу работы подобной ректификационной колонны; при приемлемой близости результатов расчета и эксперимента по разделению бинарной смеси можно считать разработанный метод расчета приемлемым и адекватным для моделирования процесса ректификации многокомпонентной смеси.

В том случае, когда разработанная математическая модель оказывается неадекватной реальному объекту, необходимо вернуться к задаче формирования более точной математической модели в модулях I-IV, например, использовать более совершенные уравнения математического описания в первом модуле или более строго подойти к задаче корректного упрощения модели в четвертом модуле.

Восьмой модуль – модуль разработки принципов оптимизации ХТС. В этом модуле формируется и обосновывается критерий оптимальности функционирования ХТС, целевая функция, дополнение математической модели ХТС частной технико-экономической моделью.

Девятый модуль – модуль выбора алгоритма решения целевой функции и разработка программы компьютерной оптимизации ХТС. На этом этапе решения задачи необходимо выбрать как определенный класс методов оптимизации, диктуемый особенностями оптимизируемой задачи (например, методы линейного, нелинейного или динамического программирования) так и достаточно быстродействующую разновидность выбранного метода, так, например, при использовании методов нелинейного программирования можно использовать методы сканирования, золотого сечения, половинного деления, крутого восхождения, двух производных, релаксаций и др. Специфика оптимизации многопараметрических задач заключается в необходимости расчета огромного числа вариантов потенциальной реализации процесса, что особенно остро выводит на передний план проблему быстродействия решения.

Десятый модуль – модуль получения оптимального решения для разрабатываемой ХТС.

Математические модели формируются для конкретных химико-технологических систем, однако для ряда частных детерминированных моделей можно разработать общие принципы составления и исследования моделей. В настоящем пособии мы остановимся на разработке наиболее характерных частных моделей – химических и гидродинамических моделях.