Этот критерий предназначен для работы с данными, полученными в самой простой из номинальных – дихотомической шкале, допускающей два типа ответов – «да» или «нет» (кодируются цифрами 1 и 0 соответственно).
Экспериментальные данные (или данные опроса), полученные педагогом в результате двукратного опроса, записываются в четырехпольную таблицу формата 2х2:
Второй опрос | |||
Да | Нет | ||
Первый опрос | Да | A | B |
Нет | C | D |
Поля в этих таблицах заполняются числами:
A – количество учащихся, которые до и после эксперимента ответили «да».
B – количество учащихся, которые до эксперимента ответили «да», а после эксперимента – «нет».
C – количество учащихся, которые до эксперимента ответили «нет», а после эксперимента – «да».
D – количество учащихся, которые до и после эксперимента ответили «нет».
Расчет эмпирического значения Mэмп критерия производится (для B≠C) следующим образом:
а) если B+C=n≤20, то Mэмп находится по таблице M(n,m), где m=min(В,C).
б) если B+C>20, то Mэмп вычисляется по формуле
|
|
При B=C рекомендуется использовать χ2-критерий.
Опишем алгоритм применения критерия Макнамары следующей схемой:
Найти матрицу |
B+C=n≥20 |
Н0 отклоняется, если Mэмп<Mкр(α) |
Вычислить |
Mкр(0,05)=3,84 Mкр(0,01)=6,64 |
Проверить B≠C |
B+C<20 |
Вычислить min(B,C)=m |
Найти по таблице Mэмп=M(n,m) |
Mкр(0,05)=0,025 Mкр(0,01)=0,005 |
Нулевая гипотеза H0={различие значений исследуемого показателя до и после эксперимента несущественно}; альтернативная гипотеза – H1={различие показателя до и после эксперимента существенно}.
Рассмотрим применение данного критерия на примере.
Проведение пробного тестирования по математике в форме ЕГЭ в первой и второй четверти дало следующие результаты.
Второе тестирование | |||
Справились | Не справились | ||
Первое тестирование | Справились | A=50 | B=19 |
Не справились | C=31 | D=20 |
Можно ли сказать, что справляемость учащихся изменилась существенно?
В приведенном примере B≠C, поэтому применение критерия Макнамары допустимо. Вычислим сумму B+C=19+31=50>20, поэтому вычисляем:
Пусть уровень значимости α=0,05. Тогда Mкр=3,84>2,88=Mэмп. Следовательно, нулевая гипотеза на данном уровне значимости отклоняется, и различия в уровне справляемости существенны.
В предыдущих примерах было показано, каким образом можно оценить существенность изменения того или иного признака на основе сравнения двух выборок. Однако, нередко возникают ситуации, когда необходимо оценить различия сразу в нескольких (более двух) выборках. Для такой цели в математической статистике также имеется ряд критериев достоверности (критерий Крускала-Уоллиса, Фридмана, Пейджа и др.).
|
|
Критерий Крускала-Уоллиса
H-критерий Крускала-Уоллиса является обобщением U-критерия Манна-Уитни на случай k несвязанных выборок (k>2) и предназначен для оценки различий одновременно между тремя, четырьмя и т.д. выборками по уровню какого-либо признака.
Нулевая гипотеза H0={между выборками существует лишь случайные различия по уровню исследуемого признака}.
Рассмотрим пример. Одинаковы ли воздействия педагогического эксперимента на младших и старших школьников, а также на учителей по показателям психологической защищённости после эксперимента.
Проранжируем значения признака для всех групп, как для одной выборки, в порядке возрастания. Далее найдём суммы рангов для каждой группы отдельно (т.е. произведём суммирование рангов по строкам, см. таблицу).
Найдём эмпирическое значение критерия по следующей формуле: , где N – общее количество испытуемых (N=27), Tj – сумма рангов в j-ой строке, nj – число испытуемых в j-ой группе. В рассматриваемом примере количество испытуемых во всех группах одинаково и равно 9. На практике можно использовать и выборки разных объёмов. По таблице находим критическое значение критерия по уровню значимости и степени свободы k. При этом степень свободы рассчитывается как разность количества групп и единицы. Поэтому в нашем случае k=3-1=2. Примем, что Тогда: Если критическое значение критерия превосходит его эмпирическое значение, то на выбранном уровне значимости следует принять нулевую гипотезу, утверждающую о несущественности различий воздействия на разные группы. В противном случае нулевая гипотеза отвергается. В нашем случае: и нулевая гипотеза на уровне значимости 0.01 принимается. Т.е. воздействие можно считать практически одинаковым во всех группах. Схема применения критерия Крускала-Уоллиса выглядит следующим образом
|