Многоканальная СМО с отказами

Характеристики являются:

1. абсолютная пропускная способность A – среднее число заявок, которое может обслужить система за единицу времени.2. относительная пропускная способность q – вероятность того, что поступившее в систему требование будет принято к обслуживанию (дополняет вероятность отказа до единицы).3. в зависимости от задачи исследования могут быть важны и другие характеристики, например, среднее число занятых каналов , среднее относительное время простоя системы в целом и отдельного канала и т. д. Если требование поступает в систему в момент, когда все п каналов заняты, то оно получает отказ (покидает систему необслуженным). Если же в момент поступления требования имеется хотя бы один свободный канал, то оно принимается к обслуживанию и обслуживается до конца. Размеченный граф состояний системы с отказами представлен на рисунке.Пусть СМО содержит п канатов, интенсивность входящего потока заявок равна λ, а интенсивность обслуживания заявки каждым каналом равна μ. Размеченный граф состояний системы изображён на рис.

Состояние S₀ означает, что все каналы свободны, состояние S_k (k = ) означает, что обслуживанием заявок заняты k каналов, остальные свободны, S_n – заняты все п каналов, заявка получает отказ в обслужи­вании.

Переход из одного состояния в другое соседнее правое происходит скачкообразно под воздействием входящего потока заявок интенсивностью А независимо от числа работающих каналов (верхние стрелки). Для перехода системы из одного состояния в соседнее левое неважно, какой именно канал освободится. Величина k μхарактеризует интенсивность обслуживания заявок при работе в СМО k каналов (нижние стрелки).

Предельные вероятности состояний системы рассчитываются по формулам Эрланга, которые для рассматриваемой СМО имеют вид:

где Р ₀ – вероятность свободного состояния системы, Р_k – финальные вероятности состояния системы (вероятности того, что обслуживанием заявок заняты k каналов). Сумма значений всех найденных по формулам Эрланга вероятностей должна быть равна 1. Вероятность отказа в обслуживании равна вероятности того, что все каналы заняты, т.е. система находится в состоянии : Относительная пропускная способность – вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (дополняет до единицы): Абсолютная пропускная способность – среднее число заявок, которое может обслужить СМО в единицу времени: A = λ . Среднее число занятых каналов .

Для многоканальной СМО с неограниченным ожиданием как абсолютная А, так и относительная пропускная способность q теряют смысл, так как каждая поступившая заявка рано или поздно будет обслужена. Зато для такой СМО весьма важными характеристиками являются: 1.среднее число заявок в очереди ,2. среднее число заявок в системе (в очереди и под обслуживанием),3.среднее время ожидания заявки в очереди , 4. среднее время пребывания заявки в системе (в очереди и под обслуживанием), и другие характеристики ожидания.

…

Предельные вероятности состояний:

где Р ₀ – вероятность свободного состояния системы, – финальные вероятности состояния системы (вероятности того, что обслуживанием заявок заняты k каналов), – вероятности того, что заявок находится в очереди при занятом количестве каналов .Сумма значений всех найденных по формулам Эрланга вероятностей должна быть равна 1.Использование формул (5) является корректным лишь в том случае, когда выполняется условие существования стационарного режима СМО: . Смысл этого условия состоит в том, что суммарная интенсивность обслуживания, создаваемая всеми n одновременно работающими каналами, равная n μ, должна быть строго больше интенсивности входного потока заявок λ.

Так как число мест в очереди не ограничено, то все требования, поступившие в систему, рано или поздно будут обслужены. Следовательно, вероятность отказа

.

Среднее число занятых каналов

.

Среднее число требований, находящихся в очереди

Среднее число требований, находящихся в системе .

Среднее время пребывания требования в очереди .

Среднее время пребывания требования в системе

Для многоканальной СМО с ограниченным ожиданием интерес представляют обе группы характеристик: как абсолютная и относительная пропускная способности, так и характеристики ожидания.

Пусть в n -канальную СМО поступает простейший поток требований с интенсивностью λ; число мест в очереди ограничено и равно т. Время обслуживания требований (для одного канала) экспоненциальное, со средним значением t _обс.

Предельные вероятности состояний системы (формулы Эрланга) имеют вид

где Р ₀ – вероятность свободного состояния системы, – финальные вероятности состояния системы (вероятности того, что обслуживанием заявок заняты k каналов), – вероятности того, что заявок находится в очереди при занятом количестве каналов . Сумма значений всех найденных по формулам Эрланга вероятностей должна быть равна 1. Требование получает отказ в том случае, когда все т мест в очереди заняты, то есть вероятность отказа

Относительная пропускная способность или вероятность того, что поступившее в систему требование будет принято к обслуживанию, дополняет вероятность отказа до единицы:

В систему поступает λ требований в единицу времени, а доля требований, принятых к обслуживанию, равна q. Следовательно, абсолютная пропускная способность

Каждый канал, если он занят, обслуживает в единицу времени mтребований, а вся система – А требований. Таким образом, среднее число занятых каналов

Среднее число требований , находящихся в очереди, вычислим как математическое ожидание числа требований, находящихся в очереди:

Подставив значения Р_n+r (r= 1, m) и выполнив преобразования, окончательно получим

.

Учитывая, что среднее число требований, находящихся под обслуживанием, совпадает со средним числом занятых каналов, среднее число требований, находящихся в системе, равно .

Среднее время пребывания требований в очереди

.

Среднее время пребывания заявки в системе

Среднее время пребывания требования в системе получим, если к среднему времени ожидания в очереди прибавим среднее время обслуживания, умноженное на относительную пропускную способность q.