Решение

№ этапа	Содержание этапа решения	Чертёж, график, формула	Оценка этапа в баллах
	Выполняется второй закон Ньютона. Сила P давления на сидение по третьему закону Ньютона равна по модулю силе N упругости, действующей на человека.
	Из кинематических условий центростремительное ускорение равно:
	Из уравнений пунктов 1 и 2 следует:
	Максимальный балл

C2 № 3069. Кусок пластилина сталкивается со скользящим навстречу по горизонтальной поверхности стола бруском и прилипает к нему. Скорости пластилина и бруска перед ударом направлены противоположно и равны и . Масса бруска в 4 раза больше массы пластилина. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом . На какое расстояние переместятся слипшиеся брусок с пластилином к моменту, когда их скорость уменьшится на 30%?

Решение.
Пусть m — масса куска пластилина, M — масса бруска, — начальная скорость бруска с пластилином после взаимодействия. Согласно закону сохранения импульса имеем:

Так как , то

По условию конечная скорость бруска с пластилином . По закону изменения механической энергии имеем:

Ответ: .

C2 № 3072. Воздушный шар, оболочка которого имеет массу и объем , наполняется горячим воздухом при нормальном атмосферном давлении и температуре окружающего воздуха . Какую минимальную температуру t должен иметь воздух внутри оболочки, чтобы шар начал подниматься? Оболочка шара нерастяжима и имеет в нижней части небольшое отверстие.

Решение.
Условие подъема шара: , где М — масса оболочки, m — масса воздуха внутри оболочки, отсюда

,

где — плотность окружающего воздуха, - плотность воздуха внутри оболочки, V — объем шара.
Для воздуха внутри шара находим:

или ,

где p — атмосферное давление, Т — температура воздуха внутри шара. Соответственно, имеем плотность воздуха снаружи:

,

где — температура окружающего воздуха.

.

Ответ: .

C2 № 3073. В калориметре находился 1 кг льда. Какой была температура льда, если после добавления в калориметр 15 г воды, имеющей температуру , в калориметре установилось тепловое равновесие при ? Теплообменом с окружающей средой и теплоемкостью калориметра пренебречь.

Решение.
Количество теплоты, необходимое для нагревания льда, находящегося в калориметре,до температуры t:

. (1)

Количество теплоты, отдаваемое водой при охлаждении ее до :

. (2)

Количество теплоты, выделяющейся при отвердевании воды при : . (3)
Количество теплоты, выделяющейся при охлаждении льда, полученного из воды, дотемпературы t:

. (4)

Уравнение теплового баланса: . (5)
Объединяя формулы (1)—(5), получаем

.

Ответ: .

C2 № 3074. Шайба массой m начинает движение по желобу AB из точки А из состояния покоя. Точка А расположена выше точки B на высоте . В процессе движения по желобу механическая энергия шайбы из-за трения уменьшается на . В точке B шайба вылетает из желоба под углом к горизонту и падает на землю в точке D, находящейся на одной горизонтали с точкой B (см. рисунок). . Найдите массу шайбы m. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение.
Скорость шайбы в точке В определяется из баланса ее энергии в точках A и В с учетом потерь на трение:

.

Отсюда .
Время полета шайбы из точки В в точку D:
, где — вертикальная координата шайбы в системе отсчета с началом координат в точке В.
Отсюда .
Дальность полета BD определяется из выражения для горизонтальной координаты шайбы в той же системе отсчета:

Подставляя в выражение для BD значение , получаем

Отсюда масса шайбы: .
Ответ: .

C2 № 3075. Снаряд массой 4 кг, летящий со скоростью 400 м/с, разрывается на две равные части, одна из которых летит в направлении движения снаряда, а другая — в противоположную сторону. В момент разрыва суммарная кинетическая энергия осколков увеличилась на величину . Скорость осколка, летящего по направлению движения снаряда, равна 900 м/с. Найдите .

Решение.
Введем обозначения: 2 m — модуль снаряда до взрыва; — модуль скорости снаряда до взрыва; — модуль скорости осколка, летящего вперед; — модуль скорости осколка, летящего назад.
Система уравнений для решения задачи:
— закон сохранения импульса,
— закон сохранения энергии.

Выразим из первого уравнения: и подставим во второе уравнение.
Получим: .
Отсюда следует: .
Ответ: .

C2 № 3663. На последнем автосалоне в Детройте фирма «Мерседес» представила новый родстер с двигателем объёмом 4,7 литра, способный разгоняться от 0 до 100 км/ч за 4,8 секунды. Считая, что процесс разгона происходит по горизонтали и является равноускоренным, определите, под каким углом к горизонту направлена сила, действующая на водителя со стороны сиденья во время такого разгона.

Решение.
При разгоне с постоянным ускорением от нулевой начальной скорости до конечной скорости в течение времени имеем, согласно кинематическим соотношениям, , откуда

.

Сила , действующая на водителя со стороны сиденья при таком разгоне, складывается по правилу параллелограмма из двух взаимно перпендикулярных оставляющих. По вертикали водитель не движется, и на основании второго закона Ньютона вертикальная проекция искомой силы равна силе тяжести: , где — масса водителя. Горизонтальная проекция искомой силы обеспечивает, согласно второму закону Ньютона, равноускоренное движение водителя вместе с автомобилем: .
Таким образом, тангенс угла а наклона вектора к горизонту равен

,

а сам угол .
Ответ: .

C2 № 3669. На горизонтальной плоскости стоит клин массой с углом при основании . Вдоль наклонной плоскости клина расположена лёгкая штанга, нижнии конец которой укреплен в шарнире, находящемся на горизонтальной плоскости, а к верхнему концу прикреплён маленький шарик массой , касающийся клина (см. рисунок). Систему освобождают, и она начинает движение, во время которого шарик сохраняет контакт с клином. На какой максимальный угол штанга отклонится от горизонтали после того, как клин отъедет от неё? Трением пренебречь, удар шарика о горизонтальную плоскость считать абсолютно упругим.

Решение.
Обозначим длину штанги через .
Поскольку трения нет, механическая энергия системы сохраняется. В процессе движения до удара шарика о горизонтальную плоскость потенциальная энергия шарика переходит в кинетическую энергию клина и шарика. Обозначим скорость клина в момент, когда шарик ударяется о горизонтальную плоскость, через , а скорость шарика перед ударом – через . Тогда закон сохранения энергии можно записать в следующем виде:

.

Непосредственно перед ударом шарика о горизонтальную плоскость его скорость направлена перпендикулярно этой плоскости, поскольку он находится на конце штанги, другой конец которой укреплён в шарнире, находящемся на этой плоскости. За малый промежуток времени перед ударом о плоскость шарик проходит по вертикали расстояние , а клин, не теряя по условию контакта с шариком, проходит по горизонтали расстояние , и эти расстояния связаны, очевидно, соотношением , откуда , или .
После абсолютно упругого удара шарика о плоскость его скорость изменит направление на противоположное, а по модулю сохранит своё значение. После этого кинетическая энергия шарика по мере подъёма штанги будет уменьшаться, переходя в потенциальную энергию, так что при максимальном отклонении штанги от горизонтали на угол будет выполняться соотношение, следующее из закона сохранения энергии:

.

Из написанных уравнений имеем

,

,

поэтому угол максимального отклонения штанги после удара шарика о плоскость определяется из следующего соотношения:

.

Ответ: .

C2 № 3675. Школьник летом на даче жил недалеко от военного аэродрома, на который постоянно садились военно-транспортные самолеты, которые летели всегда по одной и той же траектории («глиссаде»), проекция которой на землю являлась прямой линией, отстоящей на расстояние от дачи школьника. Он вооружился секундомером и точным угломерным инструментом, провел многократные измерения некоторых времен и углов и усреднил их для однотипных марок самолетов. Оказалось, что когда самолет находился на минимальном расстоянии от школьника, угол между горизонталью и направлением на самолет составлял а , а звук его двигателей был слышен в месте нахождения школьника спустя время . За это время самолет успевал удалиться от точки максимального сближения со школьником на угловое расстояние . Исходя из этих данных, школьник определил скорость самолета. Чему она оказалась равна?

Решение.
В момент максимального сближения самолета и школьника расстояние между ними было равно

.

Звук от двигателей летящего самолета «отстает» от него и слышен позади на некотором расстоянии, зависящем от скорости самолета, поскольку скорость света на много порядков больше скорости звука в воздухе. В условиях данного эксперимента
можно считать скорость звука в воздухе и скорость самолета постоянными. Звук от двигателей, излученный в момент максимального сближения самолета и школьника, доходит до него, согласно условию, спустя время t«3 с, и в этот момент школьник слышит звук как раз в точке максимального сближения с самолетом. Поэтому скорость звука

.

За время самолет успевает удалиться от точки максимального сближения со школьником в направлении, перпендикулярном , на расстояние, равное . Таким образом, и скорость самолета

.

Ответ: .

C2 № 3681. Маятник состоит из маленького груза массой и очень легкой нити подвеса длиной . Он висит в состоянии покоя в вертикальном положении. В груз ударяется небольшое тело массой , летевшее в горизонтальном направлении со скоростью . После удара тело останавливается и падает вертикально вниз. На какой максимальный угол а маятник отклонится от положения равновесия после удара?

Решение.
В соответствии с законом сохранения горизонтальной проекции импульса на направление движения тела в момент удара имеем , где V — скорость груза маятника сразу после удара.При дальнейшем движении от положения равновесия до максимального отклонения сохраняется механическая энергия груза маятника: , где — высота подъема груза над положением равновесия. Из написанных уравнений получаем:

, , и .

Подставляя числовые данные и проверяя размерность, получаем: , .

Ответ: маятник отклонится на максимальный угол .

C2 № 3687. К вертикальной стенке прислонена однородная доска, образующая с горизонтальным полом угол . Коэффициент трения доски об пол равен . Каков должен быть коэффициент трения доски о стену, чтобы доска оставалась в равновесии?

Решение.
Запишем, на основании второго закона Ньютона, условия равновесия доски в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси, а также равенство моментов сил, вращающих доску по часовой стрелке и против часовой стрелки, относительно ее центра (см. рис.).

; ; .

Здесь через m и l обозначены масса и длина доски, через и , и — силы нормального давления и силы трения доски об пол и стену, соответственно.

При минимально возможном коэффициенте трения обе силы трения при равновесии доски достигают своих максимальных значений и . Из записанных уравнений получаем: . Если будет иметь большее значение, то равновесие, очевидно, не нарушится. Таким образом,. .

Ответ: .

C2 № 3694. Из двух ровных досок сделан желоб, представляющий собой двугранный угол с раствором . Желоб закреплен так, что его ребро горизонтально, а доски симметричны относительно вертикали. В желобе на боковой поверхности лежит цилиндр массой . Коэффициент трения между досками и цилиндром равен . К торцу цилиндра приложена горизонтально направленная сила . Найдите модуль ускорения цилиндра.

Решение.
Изобразим вид на желоб со стороны торца цилиндра. На цилиндр в плоскости чертежа действуют направленная вниз сила тяжести и две равные по модулю силы реакции досок, направленные перпендикулярно стенкам желоба. Так как цилиндр не движется в вертикальном направлении, то, в соответствии со вторым законом Ньютона, сумма проекций этих трех сил на вертикаль равна нулю:

, где .

Отсюда . В горизонтальном направлении (вдоль желоба) на цилиндр действуют сила , а также, в противоположном направлении, две силы сухого трения . Предположим, что цилиндр будет двигаться по желобу. Тогда по закону Амонтона-Кулона для силы сухого трения скольжения можно записать:

.

Записывая второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось, направленную вдоль ребра желоба, получим:

,

где — модуль искомого ускорения цилиндра. Заметим, что . Это означает, что приложенная к торцу цилиндра сила превышает силу трения покоя, то есть цилиндр и в самом деле будет скользить вдоль желоба.
Следовательно, . Подставляя числовые данные и проверяя размерность, окончательно получим:

.

Ответ: .

C2 № 3813

. Система из грузов m и M и связывающей их лёгкой нерастяжимой нити в начальный момент покоится в вертикальной плоскости, проходящей через центр закреплённой сферы. Груз m находится в точке А на вершине сферы (см. рисунок). В ходе возникшего движения груз m отрывается от поверхности сферы, пройдя по ней дугу 30°. Найдите массу m, если М = 100 г. Размеры груза m ничтожно малы по сравнению с радиусом сферы. Трением пренебречь. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на грузы.

Решение.
1. Будем считать систему отсчёта, связанную с Землёй, инерциальной.
2. На рисунке показан момент, когда груз ещё скользит по сфере. Из числа сил, действующих на грузы, силы тяжести потенциальны, а силы натяжения нити , а также сила реакции опоры непотенциальны. Поскольку нить лёгкая и трения нет, . Сила направлена по скорости груза , а сила – противоположно скорости груза . Модули скоростей грузов в один и тот же момент времени одинаковы, поскольку нить нерастяжима. По этим причинам суммарная работа сил и при переходе в данное состояние из начального равна нулю. Работа силы также равна нулю, так как из-за отсутствия трения .
3. Таким образом, сумма работ всех непотенциальных сил, действующих на грузы и , равна нулю. Поэтому в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй, механическая энергия системы этих грузов сохраняется.
4. Найдём модуль скорости груза в точке его отрыва от поверхности сферы. Для этого приравняем друг другу значения механической энергии системы грузов в начальном состоянии и в состоянии, когда груз находится в точке отрыва (потенциальную энергию грузов в поле тяжести отсчитываем от уровня центра сферы, в начальном состоянии груз находится ниже центра сферы на величину ):

,

где — радиус трубы, .

Отсюда .

5. Груз в точке отрыва ещё движется по окружности радиусом , но уже не давит на сферу. Поэтому его центростремительное ускорение вызвано только силой тяжести, так как сила направлена по касательной к сфере (см. рисунок):

Подставляя сюда значение , получим:

Отсюда

C2 № 3897. В преддверии летнего сезона пожаров двое пожарных в одной из деревень решили заполнить одинаковые ёмкости для воды, расположенные на вышках высотой Н. Ёмкости - это открытые сверху кубические баки объёмом V. стоящие на вышках. Один из пожарных стал заполнять бак при помощи насоса водой из большого водоёма, находящегося на уровне земли, из брандспойта, попадая струёй воды, направленной снизу вверх, прямо в верхнюю, открытую часть бака. Другой пожарный проложил от насоса до верхней части бака трубу и подавал в неё воду с той же скоростью, что и первый пожарный. Оба заполнили баки за одинаковое время. Как и во сколько раз отличаются минимальные затраты энергии на заполнение баков в первом и во втором случаях? Потерями энергии в насосах и из-за трения в трубах и о воздух пренебречь.

Решение.
Поскольку потерь энергии нет, механическая энергия при подъёме струи воды наверх сохраняется. Запишем закон сохранения энергии для всего объёма поднятой воды в первом случае, когда струя воды с плотностью для попадания в бак должна подняться с уровня земли на высоту, как минимум равную . Для этого воде нужно сообщить механическую энергию

(здесь ускорение свободного падения, a - скорость воды на выходе из брандспойта).
Во втором случае, пренебрегая трением и учитывая, что времена заполнения баков и скорости воды на выходе из брандспойта и на входе в трубу одинаковы, мы можем записать, с учётом первого соотношения, минимальные затраты энергии в виде:

поскольку скорость течения воды наверху, на выходе из трубы, в силу практической несжимаемости воды равна скорости воды на входе в трубу. Таким образом, во втором случае минимальные затраты энергии в два раза больше.
Ответ: Во втором случае минимальные затраты энергии в два раза больше.