Лінійно залежні та незалежні функції. Визначник Вронського

Функції y₁ (x), y₂ (x),..., y_n(x) називаються лінійно незалежними на

(a, b), якщо між ними не існує співвідношення виду

(1)

де ,..., – постійні числа не рівні нулю одночасно. В противному випадку функції називають лінійно залежними на (a, b).

Приклади лінійно-залежних функцій:

1) 1, x, x², …, xⁿ;

2) e^k1x, e^k2x, …, e^knx, k_i<>k_jпри i<>j

Розв’язок є лінійно незалежним, якщос₁y₁+…+c_ny_n=0 виконується лише в єдиному випадку: с₁=с₂=…=с_n=0

В протилежному випадку – лінійно залежні.

Нехай задана система функцій y₁(x), y₂(x), …, y_n(x)на [x₁; x₂]. Визначник

Називається визначником Вронського або вронскіаном.

Для того щоб розв’язки були лінійно незалежними достатньо лише щоб вронскіан був відмінний від нуля.