Докажите как изменяется главный момент при изменении центра приведения

Пусть пространственная система сия приведена к центру О, т.е.

где

Главный момент образует с направлением главного вектора не­который угол а (рис 1.32)

Возьмем теперь новый центр приведения О1 и приведем все си­лы к этому центру. В результате снова получим главный вектор, равный главному вектору R, и новый главный момент, определяемый формулой

где pк — радиус-вектор точки приложения силы Fk, проведенный из но­вого центра приведения О1 (см. рис. 1.32).

Главный момент Мо1 относительно нового центра приведения

изменился и теперь образует с направлением главного вектора R неко­торый угол а1. Установим связь между моментами Мо и Мо1.

Из рисунка 1.32 видно, что

(3) Подставляя (3) в равенство (2), получим

(4)

Далее, раскрывая скобки в правой части равенства (4) и вынося общий множитель О1О за знак суммы, имеем

Первая сумма в равенстве (5) равна М₀, вторая - R, тогда

М₀₁ = M₀+O₁O*R (6)

Второе слагаемое равно моменту главного вектора R относи­тельно нового центра приведения в предположении, что главный вектор приложен в старом центре О, т.е.

O₁O*R=mO1(R0).

Таким образом, мы доказали следующую теорему:

М₀₁= M₀+m₀₁(R₀).

Главный момент системы сил относительно нового центра приведения O₁ равен сумме главного момента относительно старого центра приведения О и момента главного вектора относительно ново­го центра в предположении, что он приложен в старом центре О.

Следствие 1. Если главный вектор данной системы сил равен нулю, то главный момент не зависит от выбора центра приведения,

Следствие 2. Если главный вектор равен нулю и существует точка, относительно которой главный момент равен нулю, то главный момент будет равен нулю относительно любого другого центра приве­дения.

Следствие 3. Главный момент данной системы сил одинаков для всех точек прямой, параллельной главному вектору.

Вопрос №20. Дайте определение первого инварианта произвольной пространственной системы сил и докажите что является вторым инвариантом, как его аналитически вычислить и каков его геометрический смысл?

Величины, которые не изменяются при каком-либо преобразовании, называются инвариантными по отношению к этому преобразованию. Рассмотрим систему сил (F₁, F₂,…, F_N) и приведем эту систему к заданному центру О. В результате получим

Очевидно, что величина и направление главного вектора по определению не зависят от выбора центра приведения. Поэтому его называют первым инвариантом произвольной пространственной системы сил. В более узком смысле под первым инвариантом произвольной пространственной системы сил будем понимать независи­мость квадрата модуля главного вектора от выбора центра приведения:

I₁=R +R +R (2)

Что касается главного момента, то его модуль и направление изменяются с изменением центра приведения. Известно, что М₀₁ =M₀+O₁OхR. (3)

Умножим это равенство скалярно на R: М₀₁ * R = М₀ R + (O₁OхR)* R. (4)

Второе слагаемое правой части равенства (4) равно нулю как смешан­ное произведение коллинеарных векторов.

Поэтому M_01*R = M_0*R, (5)

т.е. скалярное произведение главного момента произвольной простран­ственной системы сил на главный вектор той же системы не зависит от выбора центра приведения и является вторым инвариантом I₂ = М₀ * R, (6)

или, в проекциях на оси декартовой системы координат, I₂=M_xR_x+M_yR_y+M_zR_z. (7)

Второму инварианту можно дать очень простую геометрическую ин­терпретацию. На основании определения скалярного произведения I₂=M_0*R=M₀Rcos(M_o,^ R). (8)

Откуда M₀cos(M_o,^R)= I2/корень(I1) (9)

Таким образом, при R =/= 0 проекция главного момента на направление главного вектора не зависит от выбора центра приведения.