Степени с действительным показателем

1.1. Степень с натуральным показателем.
Если , , то величина определяется так.

1.2. Степень с целым показателем.
Если , то по определению считается, что ( не определен).

Если , , то величина
определяется так.

1.3. Степень с рациональным показателем.
Если , , то величина определяется так.

где , ,

Замечание. В рациональную степень можно возводить только положительные числа!

1.4. Степень с иррациональным показателем.
Строгого определения степени с иррациональным показателем на школьном уровне дать нельзя. Для этого нужно хорошо понимать что такое предел последовательности, и как с ним работать. Но основываясь на интуитивном представлении о пределе можно сказать следующее.
Пусть даны положительное число , и иррациональное число . Рассмотрим какую-нибудь последовательность рациональных чисел, стремящихся к (например, его десятичные приближения). Тогда предел последовательности (это уже рациональная степень числа ) будем называть -той степенью числа , и обозначать .

Четкое определение, что такое предел последовательности, почему существует предел , и почему он не зависит от выбора приближающей последовательности , будет рассказано в институте, в рамках курса математического анализа.

1.5. Свойства степени с действительным показателем.
Для любых действительных , и произвольных , имеют место следующие равенства.

2. Логарифм.
Логарифмом числа по основанию (где , , ) - это степень, в которую нужно возвести число , чтобы получилось число . Обозначается .

1.1. Основное логарифмическое тождество.
Из определения логарифма следует тождество.

1.2. Свойства логарифмов.
Если , , , , , то
,
,
,
,
,
.
Поэтому
.
В частности,
.

1.3. Формула перехода к новому основанию.
Если , , , , , , то
.
В частности,
.

3. Показательная функция.
Функция , где , называется показательной.
Ее область определения - это вся числовая ось, а множеством значений является множество положительных чисел.

3.1. График показательной функции.
Если , то функция является строго возрастающей.

Если же , то функция является строго убывающей.

4. Логарифмическая функция.
Функция , где , определена при , множество ее значений - вся числовая ось.

Показательная и логарифмическая функции являются взаимно обратными, то есть
,
.

4.1. График логарифмической функции.
Если , то функция является строго возрастающей.

Если же , то функция является строго убывающей.

5. Простейшее показательные и логарифмическое уравнение.
Из монотонности показательной функции следует, что равенство при , равносильно равенству .

Уравнение , где , имеет единственное решение при любом действительном и не имеет решений при .

Уравнение , где , имеет единственное решение при любом действительном .

5.1. Потенцирование.
Уравнение , где , равносильно каждой из следующих систем.