Доверительные вероятности и уровни значимости

По выборочным характеристикам можно построить интервал, в котором с той или иной вероятностью находится генеральный параметр. Вероятности, признанные достаточными для уверенного суждения о генеральных параметрах на основании выборочных показателей, называют доверительными.

Понятие о доверительных вероятностях вытекает из принципа, что маловероятные события считаются практически невозможными, а события, вероятность которых близка к единице, принимают за почти достоверные. Обычно в качестве доверительных используют вероятности Р₁ = 0.95, Р₂ = 0.99, Р₃ = 0.999. Определенным значениям вероятностей соответствуют уровни значимости, под которыми понимают разность α = 1–Р. Вероятности 0.95 соответствует уровень значимости α₁= 0.05 (5%), вероятности 0.99 – α₂ = 0.01 (1%), вероятности 0.999 – α₃ = 0.001 (0.1%).

Это означает, что при оценке генеральных параметров по выборочным показателям существует риск ошибиться в первом случае 1 раз на 20 испытаний, т.е. в 5% случаев; во втором – 1 раз на 100 испытаний, т.е. в 1% случаев; в третьем – 1 раз на 1000 испытаний, т.е. в 0.1% случаев. Таким образом, уровень значимости обозначает вероятность получения случайного отклонения от установленных с определенной вероятностью результатов. Вероятности, принятые как доверительные, определяют доверительный интервал между ними. На них можно основывать оценку той или иной величины и те границы, в которых она может находиться при разных вероятностях.

Для различных вероятностей доверительные интервалы будут следующими:

- Р₁ = 0.95 интервал – 1.96σ до + 1.96σ (рис. 5)

- Р₂ = 0.99 интервал – 2.58σ до + 2.58σ

- Р₃ = 0.999 интервал – 3.03σ до + 3.03σ

Доверительным вероятностям соответствуют следующие величины нормированных отклонений:

- вероятности Р₁ = 0.95 соответствует t₁ = 1.96σ

- вероятности Р₂ = 0.99 соответствует t₂ = 2.58σ

- вероятности Р₃ = 0.999 соответствует t₃ = 3.03σ

Выбор того или иного порога доверительной вероятности осуществляют исходя из важности события. Уровень значимости в таком случае – эта та вероятность, которой решено пренебрегать в данной исследовании или явлении.

Средняя ошибка (m), или ошибка репрезентативности.

Выборочные характеристика, как правило, не совпадают по абсолютной величине с соответствующими генеральными параметрами. Величину отклонения выборочного показателя от его генерального параметра называют статистической ошибкой, или ошибкой репрезентативности. Статистические ошибки присущи только выборочным характеристикам, они возникают в процессе отбора вариант из генеральной совокупности.

Средняя ошибка вычисляется по формуле:

(5) ,

где σ – среднее квадратическое отклонение,

n – количество измерений (объем выборки).

Выражается в тех же единицах измерения, что и .

Величина средней ошибки обратно пропорциональна численности выборочной совокупности. Чем больше размеры выборки, тем меньше средняя ошибка, а следовательно, меньше расхождение между значениями признаков в выборочных и генеральной совокупностях.

Среднюю ошибку выборки можно использовать для оценки генеральной средней согласно закону нормального распределения. Так, в пределах ±1 находится 68.3% всех выборочных средних арифметических , в пределах ±2 – 95.5% всех выборочных средних , в пределах ±3 – 99.7% всех выборочных средних .

Поэтому, зная среднюю арифметическую выборки и среднюю ошибку выборки , можно с определенной степенью вероятности судить о пределах, в которых заключены возможные величины выборочных средних. Средняя арифметическая выборки с учетом средней ошибки записывают с виде ± , либо ±2 , либо ±3 в зависимости от значений лимитов (Х_max и Х_min). Лимиты при нормальной распределении не должны отклоняться за пределы 3 .