График перемещения и координаты тела, движущегося с постоянным ускорением

1. Раньше мы установили, что если скорость постоянна, то площадь под графиком скорости (рис. 11) численно равна перемещению тела. Можно доказать (мы примем это без доказательства), что это верно и для непостоянной ско­рости, т. е. при любой форме графика. Таким образом, чтобы найти перемещение при равноускоренном движении, надо найти площадь под графиком скорости (рис. 15). Из рисунка видно, что величина перемещения равна численно площади трапеции с высотой h, основаниями v и v_o.

(9)

Теперь исключим из этой формулы конечную скорость. Для этого подставим в формулу (9) выражение для скорости (8).

(10)

Уравнение (10) можно использовать для решения ОЗМ, найти координату тела x=x_o+s_x. Тогда

(11)

причем x_o, v_o и а могут быть как положительными, так и отрицательными.

Уравнение (11) называют уравнение координаты тела, совершающего равнопеременное движение.

Согласно (11) зависимость x(t) не является линейной. Данный вид зависимости является квадратичной функцией. В алгебре такая функция обозначалась вами y(x) = ax²+bx+c. Буквой у обозначена зависимая переменная величина (или функция), а буквой x – независимая переменная величина (аргумент). Графиком такого вида функции является парабола. Значит, и графиком координаты тела, движущегося по закону (11), т.е. равноускоренно является парабола.

X,м

На рис. 16 парабола имеет вершину в точке (0;0). Начальная координата x_o=0, скорость и ускорение тела имеют положительные значения. Это означает:

1) движение совершается вдоль направления оси координат выбранной системы отсчета;

2) скорость и ускорение сонаправлены;

3) скорость по модулю возрастает или тело ускоряется.

Мы знаем, что скорость и ускорение – векторы, и могут иметь отрицательные значения, тогда парабола может быть направлена «ветвями вниз». Поэтому вид графика x(t) и s(t) может иметь множество вариантов, но это всегда «кусок» параболы.

При начальной координате х₀=0, уравнения координаты и перемещения совпадают, поэтому будут одинаковыми и графики x(t) и s(t).

Рис.16

3. Если исключить из формулы (9) время, то получим

(12)

Рис. 16

Наконец, если подставить в определение средней ско­рости (4) выражение для перемещения (9), то после преобразования получим

4. Если начальная скорость равна нулю, то формулы
упрощаются: выпадают слагаемые, содержащие v₀ (см. сводную таблицу).

Задача 1. Начальная скорость тела равна нулю, ускорение а = 20 м/с². Постройте графики зависимости a(t), v(t), s(t) за 4 с. (О т в е т: см. рис. 16).