Пусть на тело действует приложенная в точке А сила (рис. 42). Проведем какую-нибудь ось z и возьмем на ней произвольную точку О. Момент силы относительно центра О будет изображаться вектором перпендикулярным плоскости ОАВ, причем по модулю .
Рис.42
Проведем теперь через любую точку O 1 на оси z плоскость ху, перпендикулярную к оси; проектируя силу на эту плоскость, найдем .
Но треугольник О 1 А 1 В 1 представляет собою проекцию треугольника ОАВ на плоскость ху. Угол между плоскостями этих треугольников равен углу между перпендикулярами к плоскостям, т. е. равен . Тогда, по известной геометрической формуле, .
Умножая обе части этого равенства на 2 и замечая, что удвоенные пощади треугольников О 1 А 1 В 1 и ОАВ равны соответственно и , найдем окончательно: .
Так как произведение дает проекцию вектора на ось z, то равенство можно еще представить в виде
или .
В результате мы доказали, что между моментом силы относительно оси и ее моментом относительно какого-нибудь центра, лежащего на этой оси, существует следующая зависимость: момент силы относительно оси равен проекции на эту ось вектора, изображающего момент данной силы относительно любого центра, лежащего на оси.
|
|
Приведение пространственной системы сил к данному центру.
Полученные выше результаты позволяют решить задачу о приведении любой системы сил к данному центру. Эта задача, решается с помощью теоремы о параллельном переносе силы. Для переноса действующей на абсолютно твердое тело силы из точки А (рис. 43, а) в точку О прикладываем в точке О силы и . Тогда сила окажется приложенной в точке О и к ней будет присоединена пара () с моментом , что можно показать еще так, как на рис. 43, б. При этом .
Рис.43
Рассмотрим теперь твердое тело, на которое действует какая угодно система сил , ,…, (рис. 44, а). Выберем произвольную точку О за центр приведения и перенесем все силы системы в этот центр, присоединяя при этом соответствующие пары. Тогда на тело будет действовать система сил
.
приложенных в центре О, и система пар, моменты которых будут равны
,
Силы, приложенные в точке О, заменяются одной силой , приложенной в той же точке. При этом или,
.
Чтобы сложить все полученные пары, надо геометрически сложить векторы моментов этих пар. В результате система пар заменится одной парой, момент которой или,
.
Как и в случае плоской системы, величина , равная геометрической сумме всех сил, называется главным вектором системы; величина , равная геометрической сумме моментов всех сил относительно центра О, называется главным моментом системы относительно этого центра.
|
|
Рис.44
Таким образом мы доказали следующую теорему, любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой , равной главному вектору системы и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом , равным главному моменту системы относительно центра О (рис. 44, б).
Векторы и обычно определяют аналитически, т.е. по их проекциям на оси координат.
Выражения для R x, R y, R z нам известны. Проекции вектора на оси координат будем обозначать M x, M y, M z. По теореме о проекциях суммы векторов на ось будет или, . Аналогично находятся величины M y и M z.
Окончательно для определения проекций главного вектора и главного момента получаем формулы:
При этом главный вектор пространственной системы сил: R0 = Σ Pi отличается от главного вектора плоской системы сил только наличием третьей компоненты, поэтому его модуль будет равен:
Главный момент пространственной системы сил: M0 = Σ M0 (Pi) - это вектор, модуль которого находится аналогично:
где Mx, My, Mz - суммы моментов всех сил системы относительно соответствующих осей.
В зависимости от значений главного вектора и главного момента, а также от их взаимного расположения возможны следующие варианты приведения пространственной системы сил:
1) R0 = 0, M0 = 0 - система сил находится в равновесии;
2) R0 = 0, M0 ≠0 - система эквивалентна паре сил с моментом, равным главному моменту системы, который в этом случае не зависит от выбора центра приведения;
3) R0 ≠0, M0 = 0 - система эквивалентна равнодействующей R, равной и эквивалентной главному вектору системы R0, линия действия которой проходит через центр приведения: R = R0, R ~ R0;
4) R0 ≠0, M0 ≠0 и R0 ⊥ M0 - система эквивалентна равнодействующей R, равной главному вектору системы R0, ее линия действия проходит на расстоянии d = | M0 |/ R0 от центра приведения.
5) R0 ≠ 0, M0 ≠0 и главный вектор R0 неперпендикулярен главному моменту M0 - система эквивалентна скрещивающимся силам или динаме.
При этом скрещивающимися называются силы, которые непараллельны и не лежат в одной плоскости, а динамой называется система, состоящая из силы и пары сил, плоскость которой перпендикулярна этой силе.
Динама, приложенная к твердому телу, стремится вызвать его винтовое движение, которое представляет совокупность вращательного и поступательного движений.
Примечание.
Для пространственной системы сил, как и для плоской, справедлива следующая Теорема Вариньона.
Момент равнодействующей пространственной системы сил относительно произвольного центра (оси) равен геометрической (алгебраической) сумме моментов всех сил этой системы относительно данного центра (оси).