Уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Международный государственный экологический университет

Имени А. Д. Сахарова»

Факультет мониторинга окружающей среды

А. И. Тимощенко

Движение пробного электрического заряда в однородных электрическом и магнитном полях

учебное пособие по дисциплине «Теоретическая механика»

для студентов специальности 1-100 01 01

«Ядерная и радиационная безопасность»

Минск 2011

Введение

В данном пособии рассматривается комплекс задач о решении уравнений движения заряженной частицы в постоянных однородных электрическом и магнитном полях. Заряд, переносимый частицей, считается пробным, т.е. не влияющим на распределение и движение зарядов в источниках. При этом рассматривается лишь случай достаточно слабых полей, в которых ускорение частицы невелико, и, следовательно, потерями на электромагнитное излучение, создаваемое ускоренно движущимся зарядом, можно пренебречь.

Уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле

Второй закон Ньютона для пробной заряженной частицы, движущейся в электромагнитном поле, имеет следующий вид (в СИ):

, (1)

где

(2)

– импульс частицы, m - ее масса, q - ее заряд, - скорость частицы, - напряженность электрического, - индукция магнитного полей, а

– лоренц-фактор.

К уравнениям (1) необходимо добавить допустимые начальные условия, имеющие следующий общий вид:

(3)

Уравнения (1) применимы лишь в приближении слабых полей пока ускорение заряженной частицы невелико, и, следовательно, можно пренебречь ее собственным электромагнитным излучением, а также его влиянием на распределение и движение зарядов в источниках внешнего электромагнитного поля.

Подстановка (2) в (1) позволяет записать уравнение движения (1) следующим образом:

. (1')

Умножив это уравнение скалярно на вектор скорости , можно выяснить, что

. (4)

Тогда, подставляя (4) в (1') и собирая слагаемые, содержащие характеристики поля в правой части, получим

. (5)

В общем случае переменных электромагнитных полей невозможно получить аналитическое решение нелинейного векторного уравнения (1) относительно при допустимых начальных условиях (3). Однако в нерелятивистском приближении, v / c << 1, в случае постоянных и однородных электрического, , и магнитного, , полей, создаваемых в некоторой системе отсчета различными источниками, эта задача поддается аналитическому решению в общем виде.