2015-10-14
4868
Систему сил, линии действия которых лежат в одной плоскости, называют плоской. Пусть эта плоскость совпадает с координатной плоскостью Oxy (рис. 3.6). Тогда векторы моментов сил относительно любой точки плоскости и векторы моментов пар сил перпендикулярны плоскости действия сил и полностью определяются своими алгебраическими значениями.
Алгебраический момент силы относительно точки равен взятому с определенным знаком произведению модуля силы на ее плечо относительно точки
. (3.10)
Алгебраический момент пары сил равен взятому с определенным знаком произведению модуля одной из сил пары на ее плечо
. (3.11)
Знак «плюс» в формуле (3.10) берем в том случае, когда сила 
стремится повернуть тело вокруг точки О против часовой стрелки, знак «минус» соответствует повороту по часовой стрелке. Аналогично определяют и знак момента в формуле (3.11). Введенные таким образом алгебраические моменты совпадают с моментами сил и пар относительно оси Oz, направленной к нам.
Условия равновесия плоской системы сил получим из уравнений (3.6). Так как все силы лежат в плоскости Oxy, их проекции на ось Oz и моменты относительной осей Ox и Oy равны нулю, поэтому 3, 4 и 5-е уравнения выполняются тождественно. Оставшиеся уравнения, используя введенные алгебраические моменты, запишем так:
. (3.12)
Таким образом, для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на две координатные оси и сумма алгебраических моментов всех сил относительно произвольной точки плоскости их действия равнялись нулю.
Пример 1. На раму AB (рис. 3.7,а) действуют сила F = 2 кН и пара сил, момент которой M = 1 кН×м.
Определить реакции опор.
Рассмотрим равновесие рамы AB, которую освободим от связей, заменив их действие реакциями (рис. 3.7,б): 
– составляющие реакции неподвижного цилиндрического шарнира A; 
– реакция подвижного цилиндрического шарнира B, направленная перпендикулярно опорной плоскости.
Разложим силы 
и на составляющие, параллельные координатным осям:
кН; 
кН;
.
Пара сил задана величиной момента и направлением действия.
Для полученной плоской системы сил запишем три уравнения равновесия:
При составлении уравнений равновесия целесообразно координатные оси направить перпендикулярно неизвестным силам, а моменты сил вычислять относительно точек пересечения линий действия неизвестных сил, что обеспечит получение наиболее простых уравнений, содержащих минимальное число неизвестных. Из уравнений равновесия получим
кН;
кН;
.
Для проверки правильности решения рассмотрим условие равновесия, не использованное при решении примера. Выберем точку, относительно которой все найденные реакции имеют моменты (точка D, см. рис. 3.7,б), и вычислим сумму моментов всех действующих на раму сил относительно этой точки:
.
Условие равновесия выполнено.
Ответ: 
Отрицательные значения реакций показывают, что действительные направления сил 
и 
противоположны первоначально выбранным (см. рис. 3.7,б).
Пример 2. На консольную балку AB, показанную на рис. 3.8,а, действуют сила Р = 1 кН, пара сил, момент которой M = 3 кН×м, и равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q = 2 кН/м.
Определить реакцию жесткой заделки А.
В этом примере используем не рассматривавшуюся ранее связь, называемую жесткой заделкой. Она препятствует перемещению точки А и повороту балки вокруг этой точки. На закрепленный конец балки действует распределенная система реактивных сил, которую можно привести к силе, приложенной в точке А, и паре сил. Представим силу составляющими , , а момент пары обозначим через 
.
Таким образом, освобождая балку от связи, покажем три составляющие реакции жесткой заделки: , , (рис. 3.8,б). Равномерно распределенную нагрузку заменим ее равнодействующей, приложенной в середине нагруженного участка, 
кН. Итак, на балку действует плоская система сил и пар сил. Запишем три уравнения равновесия этой системы:
из которых получим
= P = 1 кН; 
= 6 кН;
= 2×1 + 4,5×6 - 3 = 26 кН×м.
Для проверки правильности решения вычислим сумму моментов всех сил, действующих на балку, относительно точки В
.
Ответ: 
.
