В процессе обучения дошкольникам часто приходится рассматривать элементы одного множества и устанавливать отношения между ними:
- сравнивать по величине;
- подбирать одинаковые;
- выстраивать сериационный ряд;
- упорядочивать карточки.
В математике изучают взаимосвязи между числами («быть больше», «следовать за», «быть меньше на 1»), в геометрии рассматривают отношения равенства, пересечения, параллельности и др.
Чаще всего мы сталкиваемся с отношениями между двумя объектами, их называют бинарными.
Способы задания отношений:
1. Указывают характеристическое свойство всех пар элементов, находящихся в этом отношении. При этом характеристическое свойство представляет собой предложение с двумя переменными.
2. Перечисляют все пары элементов, взятых из множества и связанных этим отношением.
Например элементы множества X = {1, 2, 3, 4, 5 } связаны отношением «быть больше на 1». В этом случае отношение задано с помощью предложения «число х больше числа у на 1». Это же отношение можно задать, перечислив все пары чисел, связанных данным отношением: {(2;1), (3;2), (4;3), (5; 4) }.
|
|
В математике отношения между двумя элементами часто записываются при помощи символов: х>у, а // b, y =3 х, с ^ l
Способы задания отношений взаимосвязаны – от одного можно переходить к другому, и наоборот. Например, детям предложено задание: «Маша, Катя, Сережа, Валера – дети одних родителей. Назовите, кто кому является братом». Выполняя его, дети должны перейти от задания отношения с помощью характеристического свойства к перечислению пар элементов.
В математике изучают большое разнообразие отношений. Чтобы облегчить решение этой задачи, отношения классифицируют по свойствам.
Пусть R – некоторое отношение на множестве X, a x, y, z - любые его элементы. Если элемент х находится в отношении R с элементом у, то пишут xRy.
Свойства отношений:
1. Рефлексивность: каждый элемент множества находится в этом отношении с самим собой («параллельность», «равенство»).
R рефлексивно <=> х R х
2. Симметричность: если из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у, следует, что элемент у находится в этом отношении с элементом х («параллельность», «перпендикулярность», «равенство», «быть родственником»).
R симметрично <=> x R у => у R x
3. Антисимметричность: если из того, что х находится в данном отношении с элементом у и х ¹ у, следует, что элемент у в этом отношении с х не находится («больше», «меньше», «длиннее», «короче»).
R антисимметрично <=> х R у и х ¹ у => у R x
4. Транзитивность: если из того, что элемент х находится в
данном отношении с элементом у, а элемент у находится в этом
отношении с элементом z, следует, что элемент х находится в данном отношении с элементом z («больше», «выше», «старше», «равно», «параллельно»).
|
|
R транзитивно <=> х R у и у R z => х R z
Одно и то же отношение может обладать несколькими свойствами. Так отношение «равно» - рефлексивно, симметрично, транзитивно, отношение «больше» - антисимметрично и транзитивно.
Если отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно является отношением эквивалентности («равенство», «параллельность»).
Если на множестве X задано отношение эквивалентности, то оно определяет разбиение этого множества на классы. И наоборот, любое разбиение множества X на классы определяет на этом множестве отношение эквивалентности.
Это утверждение проявляется, например, при выполнении заданий: «Подбери полоски равные по длине и разложи по группам».
«Разложи мячи так, чтобы в каждой коробке были мячи одного цвета».
Отношения эквивалентности («быть равным по длине», «быть одного цвета») определяют в данном случае разбиение множеств полосок и мячей на классы.
Если отношение транзитивно и антисимметрично, то оно называется отношением порядка («больше», «длиннее», «следовать»).
Эти отношения упорядочивают элементы множества.
Множества с заданным на нем отношением порядка называется упорядоченным множеством.
Например, выполняя задания: «Разложи полоски по ширине от самой узкой до самой широкой». «Разложи числовые карточки по порядку», дети упорядочивают элементы множеств полосок и числовых карточек при помощи отношений порядка: «быть шире», «следовать».
Вообще, отношения эквивалентности и порядка играют большую роль в формировании у дошкольников правильных представлений о классификации и упорядочивании множеств. Кроме того, дети встречаются с большим числом других отношений, которые не являются ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.
Задание 22.
На множестве детей группы сада рассматриваются отношения: «быть ниже по росту», «быть старше по возрасту», «жить в одном и том же доме», «родиться в одном и том же месяце». Какие из этих отношений определяют разбиение множества детей на классы, а какие из них упорядочивают данное множество? Можете ли вы назвать другие отношения на множестве детей?