Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Плотность вероятности

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей оси ОХ, а плотность распределения f(x) существует везде, за исключением(может быть, конечного числа точек.

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что некоторая случайная величина Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b.

Доказательство этой теоремы основано на определении плотности распределения и третьем свойстве функции распределения, записанном выше.

Геометрически это означает, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой распределения f(x) и прямыми x=a и x=b.

Функция распределения может быть легко найдена, если известна плотность распределения, по формуле:

Свойства плотности распределения.

1) Плотность распределения – неотрицательная функция.

2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - ¥ до ¥ равен единице.

Пример.

Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью:

Требуется найти коэффициент а, построить график функции плотности распределения, определить вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от 0 до .

Решение.

Построим график плотности распределения:

Для нахождения коэффициента а воспользуемся свойством .

Находим вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.

Пример.

Задана непрерывная случайная величина х своей функцией распределения f(x).

Требуется определить коэффициент А, найти функцию распределения, построить графики функции распределения и плотности распределения, определить вероятность того, что случайная величина х попадет в интервал .