по цене продукта (лемма Шепарда)

Предельный расход по полезности равен множителю Лагранжа:

(1.24)

Пусть есть решение задачи → , на условный экстремум. Тогда имеем тождества

(1.25)

Равенство является тождеством по Продифференцируем последнее выражение по Получим

(1.26)

Продифференцируем функцию расходов по максимальной полезности.

В преобразованиях использовалась подстановку значений цен из (1.25) и (1.26). Утверждение (1.24) доказано.

Полученный вывод позволяет оценить новый минимальный уровень расхода потребителя , который получим при относительно малом изменении максимально возможной общей полезности на , т.е. при . Он приблизительно равен при Приближенное равенство означает, что при увеличении уровня полезности, например, на одну единицу, потребителю необходимо существенно увеличить расход.

Лемма Шепарда о предельном расходе по цене продукта утверждает, что предельный расход по цене одного из продуктов равен объему этого продукта в оптимальном наборе.

(1.27)

Продифференцируем равенство по переменной цене. Получим выражение предельной полезности по цене продукта:

. (1.28)

Имеем

В преобразованиях использованы подстановки: необходимое условие максимума функции Лагранжа(1.25) и предельная полезность по цене продукта (1.28).

Выражение для доказывается аналогично.

Выражение цен в равенстве (1.25) позволяет оценить новый минимум расхода , который при относительно малом изменении цены, например , имеет вид: . Отсюда следует . Минимальное значение при приблизительно равно минимальному значению при .

Для любого условия (1.4.4) имеют вид:

Взаимосвязь между решением задач максимизации функции полезности и минимизации расходов представлена ниже.

Задача максимизации функции полезности имеет вид:	Задача минимизации расходов

Используем решения задач максимизации функции полезности и минимизации расходов для вывода уравнения Е. Слуцкого и для представления его в коэффициентах эластичности.