Примеры решения задач

1. Изолированный прямолинейный проводник изогнут в виде прямого угла со стороной длиной 20 см. В плоскости угла помешен кольцевой проводник радиусом 10 см так, что стороны угла являются касательными к кольцевому (рис. 6, а). Найти индукцию в центре кольца. Силы токов в проводниках равны 2 А. Влияние подводящих проводов не учитывать.

Дано: l=0,2м, r₀=0,1м, , I₁=I₂=I=2A

Найти B

Решение. Индукция dВ в точке поля от элемента проводника dl с током I (проводник имеет произвольную конфигурацию) определя­ется по закону Био—Савара—Лапласа:

где r — модуль радиуса-вектора, проведенного из элемента в точку, где определяется индукция: α — угол, составленный векторами dl и r; µ_о — магнитная постоянная. Направление вектора индукции перпендикулярно плоскости, содержащей dl в r, и определяется правилом правого винта. Например, в центре окружности (см. рис. 6, а) векторы индукции от всех элементов перпендикулярны плоскости окружности и направлены на нас. Интегрируя выражение (1), получаем индукцию в центре окружности радиуса r₀:

Индукция, создаваемая в точке М конечным отрезком АВ прямого проводника на расстоянии r₀ от него (рис. 6,б), равна

В₂=

Эту же формулу в некоторых случаях удобнее записать в вид

В₂=

Вектор индукции в точке М перпендикулярен плоскости, в которой лежат проводник АВ и r₀, и совпадает по направлению с В₁.

По условию задачи β₁ = β₂ =45°, и индукция от двух сторон угла составляет

Так как направления векторов индукции полей, создаваемых проводниками, совпадают, то результирующая индукция в центре кольца равна сумме

В = B₁+B₃, или

В = B₁+B₃=

B=

Ответ: В = 15,32 мкТл.

2. По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам, нахо­дящимся на расстоянии 10 см друг от друга, текут токи силой 5 А в каждом. Определить индукцию магнитного поля, созда­ваемого токами в точке, лежащей посередине между проводниками в случаях: 1) проводники параллельны и токи текут в одном направлении (рис. 7. а); 2) проводники перпендикулярны, направления токов показаны на рис. 7. б. Дано: d=0,l м, I₁ = I₂= I = 5 А.. Найти: В_|| и В_┴

Решение. Результирующая индукция магнитного поля в данной точке равна векторной сумме индукций полей, создаваемых каждым током в отдельности: В=В₁+В₂ (1), где B₁ и В₂ — индукции полей, создаваемых соответственно токами I₁ и I₂. Если токи текут по параллельным проводникам в одном направлении, то, применив правило правого винта, определяем на­правления В₁, и В₂. Как видно из рис. 7, а, В₁ и В₂ направлены в противоположные стороны, поэтому векторная сумма (1) в данном случае может быть заменена алгебраической

Индукции полей, создаваемых бесконечно длинными проводниками, находим по формуле:

,

где r₁ и r₂ — соответственно расстояния от проводников до точки, где определяется индукция магнитного поля. Согласно условию задачи, r₁ = r₂ = r и тогда

В случае, когда проводники перпендикулярны (рис. 7,6), резуль­тирующая индукция в точке, лежащей посередине между проводниками, равна

, или

Подставляя числовые значения, получаем

Ответ: , B_||=0

3. Пройдя ускоряющую разность потенциалов 3,52 кВ, электрон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Индукция поля 0,01 Тл, радиус траектории r = 2см. Определить

удельный заряд электрона.

Дано: U = 3,52^.10³ В, В=0,01 Тл, r =2 см.

Найти e/m.

Решение. Удельным зарядом частицы называется величина, равна отношению заряда к массе, т. е. e/m.

В магнитном поле с индукцией В на заряд, движущийся со скоростью v перпендикулярно линиям индукции, действует сила Лоренца F_л = B∙e∙v. Под действием этой силы заряд перемещается по дуге окружности. Так как при этом сила Лоренца вызывает центростремительное ускорение, то согласно второму закону Ньютона можно записать

Кинетическую энергию, равную mv²/2, электрон приобретает за счет работы А сил электрического поля (A = e∙U), поэтому имеем mv²/2 = e∙U

Преобразуя последние два соотношения и исключив из них ско­рость, получим формулу для определения удельного заряда электрона

Подставив исходные данные, находим

Ответ: e/m

4. Виток радиусом 2 см, по которому течет ток силой 10 А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией 1,5 Тл. Линии индукции перпендикулярны плоскости витка. Определить работу, совершаемую внешними силами при повороте витка на угол 90° вокруг оси, совпадающей с диаметром витка. Считать, что при повороте витка сила тока в нем поддерживается неизменной.

Дано: I=10 А, В=1,5 Тл, r =0,02 м, α=90°.

Найти А.

Решение. На виток с током, помещенный в магнитное поле, действует вращающий момент M=p_mB sin α, (1) где p_m = IS = Iπr² — магнитный момент витка; В — индукция магнитного поля; α — угол между векторами р_m и B. В начальном положении согласно условию задачи виток свободно установился в магнитном поле, следовательно, векторы р_m и В совпадают по направлению, т. е. α =0 и М=0. При действии внешних сил виток выходит из положения равновесия, при этом возникает момент сил, определяемый формулой (1). Момент сил стремится возвратить виток в исходное положение. При повороте витка внешние силы совершают работу против этого момента, который является переменным и зависит от угла поворота α:

или

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу, совершаемую при повороте витка на конечный угол:

Подставляя числовые значения, находим

Ответ:

5. По соленоиду течет ток силой 5 А. Длина соленоида 1 м, число витков 500. В соленоид вставлен железный сердечник. Найти намагниченность и объемную плотность энергии магнитного поля соленоида. Зависимость В=f(H) дана на рис. 8.

Дано: I=5А, l=1м, N=500

Найти: J, w

Решение. Намагниченность определяется отношением магнитного момента к объему магнетика и связана с напряженностью магнитного поля соотношением J=ηH, (1), где η —магнитная восприимчивость среды. Поле соленоида можно считать однородным. В этом случае напряженность поля вычисляется по формуле Н=Iп, (2) где I — сила тока, текущего по обмотке соленоида; n=N/l — число витков,

приходящихся на единицу длины соленоида. Тогда H=IN/l. (3)

Связь между магнитной восприимчивостью η и магнитной проницаемостью µ среды выражается формулой

η =µ—1. (4)

Определим напряженность магнитного поля соленоида по (3)

H=5А^.500/1м=2500А/м

По графику на рис. 8 находим, что напряженности H =2500 А/м со­ответствует индукция магнитного поля В=-1,6 Тл. Используя соот­ношение В=µµ₀Н, находим

Согласно формуле (4) имеем η =500—1=499. Определим намагниченность по формуле (1)

Объемная плотность энергии магнитного поля соленоида вычисляется по формуле

Ответ: ,

6. Материальная точка массой 10 г совершает гармонические колебания с периодом 1 с. Начальная фаза колебаний 30°, Определить амплитуду колебаний, максимальные скорость и ускорение колеблющейся точки, если максимальная кинетическая энергия равна 0,02 Дж.

Дано:m=0,01кг, T=1с, φ₀=30°=π/6, E_kmax=0,02Дж

Найти: A, v_max, a_max

Решение. Полная энергия колеблющейся точки — это сумма потен­циальной и кинетической энергии; она равна максимальной кинетической или максимальной потенциальной энергии. Полная энергия зависит от массы колеблющейся точки, амплитуды и круговой частоты колебаний: E=E_k1max=¹/₂mA² ω².

Отсюда находим

или учитывая, что ω ²=2 π/T,

;

Зная амплитуду, запишем уравнение гармонических колебаний, совершаемых материальной точкой:

x=0,32sin(2πt+ π/6),

где η — смещение точки относительно положения равновесия; 0,32м=A — амплитуда; 2πс^-1=ω — круговая частота; π/6=φ₀ — начальная фаза колебаний.

Скорость точки определяется как первая производная от смещения по времени:

Полагая cos(2πt+ π/6)=1 получаем,

υ_max= 0,32м·2 π c^-1=2м/с

Ускорение точки определяется как первая производная от скорости по времени:

Полагая sin(2 πt+ π/6)=-1, находим

a _max =0,32м·4π ²с^-2=12,62м/с².

Максимальную скорость можно найти из уравнения ¹ /₂mυ²_max=E_{k max}

Откуда

Ответ: A=0,32м, υ_max=2м/с, а_max=12,62м/с².

7. Разность потенциалов на обкладках конденсатора в колебательном контуре изменяется со временем по закону U=100sin1000πt. Электроемкость конденсатора 0,5 мкФ. Определить период собственных колебаний, индуктивность, энергию контура и максимальную силу тока, текущего по катушке индуктивности.

Дано: U= 100 sin 1000πt, С=0,5·10^-6 Ф.

Найти: Т, L, W, I_max.

Решение. Напряжение на конденсаторе изменяется по гармоническому закону U=U₀sinωt, где U₀ — амплитудное (максимальное) значение напряжения на обкладках конденсатора; ω₀ — собственная циклическая частота колебаний, которая связана с периодом соотношением T=2π/ω₀. Отсюда находим

Период собственных колебаний в контуре определяется по формуле Томсона

Откуда ,

Энергия контура – это сумма электрической и магнитной

энергий и равна максимальной энергии поля конденсатора или максимальной энергии катушки индуктивности

Зная полную энергию, можно определить максимальную силу тока, протекающего по катушке индуктивности:

,

Ответ: , , ,

8. Колеблющиеся точки удалены от источника колебаний на расстояние 0,5 и 1,77 м в направлении распространения волны. Разность фаз их колебаний равна Зπ/4. Частота колебаний источника 100 с^-1. Определить длину волны и скорость ее распространения. Написать уравнение волны для заданных точек, если амплитуды колебаний их равны 1 см.

Дано: l₁=0,5 м, l₂=1,77 м, Δφ=Зπ/4, v=10² с-¹, A₁=A₂=A=0,01 м.

Найти: λ, υ.

Решение. Из уравнения бегущей волны по разности фаз Δφ и рас­стоянию l от источника колебаний до колеблющейся точки можно определить λ. Имеем

(1) или (2)

где х — смещение колеблющейся точки; t — время колебания; ω=2π/Т=2πλ= 200π — круговая частота.

В уравнении (2) выражение 2π(t/T — l/λ) является фазой колебаний. Запишем фазы для каждой из заданных точек:

или

Тогда разность фаз откуда

;

Скорость распространения волны

;

Подставляя, числовые значения в уравнение (1), получаем соответственно для первой и второй точек:

;

.

Ответ: ,

9. Определить энергию, переносимую плоской синусоидальной электромагнитной волной, распространяющейся в вакууме, за 1 с сквозь поверхность площадью 1 м², расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. Амплитуда напряженности электрического поля волны 5 мВ/м. Период волны T«t.

Дано: E₀ =5^.10^-3В/м, T<<t, S=1м², t=1с

Найти W

Решение. Плотность потока энергии (или интенсивность излучения) электромагнитных волн, т. е. количество энергии, переносимой за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны, определяется вектором Пойнтинга Р=ЕхН, где Е, Н —векторы напряженности электрического и магнитного полей в электро-

магнитной волне. Учитывая, что Е_┴Н, получим для модуля вектора Р

P=EH

Таккак величины E и H в каждой точке электромагнитной волны меняются во времени по закону синуса, находясь в одинаковых фазах, то мгновенное значение величины Р равно

Таким образом, величина Р является функцией времени. Согласно определению вектора плотности потока энергии, имеем

где dW — энергия, переносимая волной через площадку S за время dt. Из выражений (2) и (1) имеем

dW=PSdt=E₀H₀

Для определения dW необходимо знать величину Hо, которая может быть найдена из соотношения Отсюда

(3)

По условию, ε=µ=1, тогда

(4)

Подставляя (4) в (3), получим

dW= E₀²S

Энергия, переносимая волной за время t.

W=

По условию задачи T«t, поэтому и членом

можно пренебречь. Тогда

Подставляя числовые значения, получим

Ответ: