Определители 2-го и 3-го порядка и их свойства

Раздел 1.

Элементы линейной алгебры.

Линейные действия над матрицами и их свойства

Определение

Числовой матрицей (матрицей) размера будем называть прямоугольную таблицу чисел, содержащую строк и столбцов, и обозначать или .

Матрица , содержащая один столбец, называется столбцом.

Матрица , содержащая одну строку, называется строкой.

Столбцы и строки будем обозначать как векторы - .

Пример. Матрица содержит свои элементы в 3-х строках и 3-х столбцах.

Обозначение: = или = | |, =1,2,3, =1,2,3

- обозначение элемента матрицы, расположенного в -й строке, и -м столбце, ( =1,2,3, =1,2,3);

- индекс, указывающий номер строки;

- индекс, указывающий номер столбца.

Линейными действиями над матрицами называются операции сложения матриц, и умножения матрицы на число.

Определение

При сложение матриц и образуется матрица , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц и .

Обозначение суммы матриц: = +

где =| |, =| |, =| |, = + , =1,…,n, =1,…,m.

Пример №. + =

Определение

При умножении матрицы на образуется матрица , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы на .

Обозначение произведения матрицы на число: =

где =| |, =| |, = , =1,…,n, =1,…,m, .

Пример. 3 =

Определение

Линейной комбинацией столбцов с коэффициентами называется выражение вида:

=

Пример. Столбец = является линейной комбинацией столбцов = и = с коэффициентами 1, 2.

линейно выражается через и : = + 2 ó = = +2 .

Аналогично вводится понятие линейной комбинации матриц с коэффициентами : = .

Линейные свойства матриц:

Пусть

=| |, =| |, =1,…,n, =1,…,m, , ,

тогда:

1. A + B = B + A (коммутативность)

2.(A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность)

3. (A + B) = A + B (дистрибутивность)

4.( + ) A = A + A (дистрибутивность)

5.( ) A = ( A) (ассоциативность)

2. Произведение матриц и их свойства

Определение.

Произведением матриц и называется матрица ,

элементы которой определяются по формуле:

= , ( =1,…,n, =1,…,k).

Обозначение: = , =| |.

Пример. Пусть , . Найти = .

= = + +…+ ,

= = + +…+ ,

= = + +…+ , и т.д.

Матрицы и можно перемножить, если число столбцов матрицы (т.е. длина строки матрицы ) равно числу строк матрицы (т.е. длине столбца матрицы ).

Количество строк матрицы (где = ) определяется количеством строк матрицы , а количество столбцов – количеством столбцов матрицы B.

Пример. = =

= 3 1 + 1 0 + 0 1 + 2 3 = 9 = 6 1 + 2 0 + 0 1 + 4 3 = 18

= 3 2 + 1 3 + 0 7 + 2 0 = 9 = 6 2 + 2 3 + 0 7 + 4 0 = 18

= 3 7 + 1 0 + 0 9 - 2 6 = 9 = 6 7 + 2 0 + 0 9 - 4 6 = 18

Свойства произведения матриц:

1. = (ассоциативность)

2. = + (дистрибутивность)

В общем случае произведение матриц не коммутативно, т.е. .

Если = , тогда матрицы и называются перестановочными.

Пример. Умножим матрицу = на столбец =

=

= ó

Матричной записью системы линейных уравнений

называется выражение вида: = , или кратко: = ,

где:

= - матрица системы;

= - столбец неизвестных; = - столбец свободных членов.

Определители 2-го и 3-го порядка и их свойства

Определение

Выражение вида , где , =1,2, =1,2,

которое вычисляется по формуле ,

называется определителем второго порядка матрицы = .

Пример. Вычислить определитель: .

Определение

Выражение вида

, где , =1,2,3, =1,2,3,

которое вычисляется по формуле

= + + - - - ,

называется определителем третьего порядка матрицы = .

В алгебраическую сумму, определяющую определитель третьего порядка, со знаком плюс входят произведения следующих элементов:

со знаком минус:

.

det - обозначение определителя (детерминанта) матрицы .

Свойства определителей разберем на примере определителей 2-го и 3-го порядка.

1. Определитель матрицы не изменяется при ее транспонировании

det = det , где = , =

- обозначение транспонированной матрицы .

Транспонирование – это процедура, связанная с заменой строк матрицы на столбцы

= =

Из первого свойства следует, что любое свойство, сформулированное для строк определителя, справедливо и для столбцов, и - наоборот.

2. Знак определителя изменится на противоположный, если поменять местами два столбца (строки)

= = =

3. Определитель равен нулю, если содержит нулевой столбец (строку)

= 0

4. Определитель равен нулю, если содержит два одинаковые столбца (строки)

= = 0

5. Коэффициент, на который умножены все элементы некоторого столбца (строки) можно выносить за определитель, как множитель.

=

= = =

=

Пример. =

6. Определитель равен нулю, если содержит пропорциональные столбцы (строки)

= 0 ó = = 0 (см. свойство 4)

7. Если в определителе каждый элемент некоторого i-го столбца представлен суммой двух слагаемых, тогда данный определитель может быть представлен суммой двух определителей того же порядка.

Столбцы полученных определителей, кроме i-го столбца, совпадают со столбцами исходного определителя.

i-й столбец первого полученного определителя состоит соответственно из первых слагаемых в суммах, которыми представлены соответствующие элементы i-го столбца исходного определителя.

i-й столбец второго полученного определителя состоит соответственно из вторых слагаемых в суммах, которыми представлены соответствующие элементы i-го столбца исходного определителя.

= +

В силу свойства 1, данное свойство справедливо и для строк.

Утверждение

Определитель не изменится, если к одному из его столбцов прибавить другой его столбец, умноженный на константу (см.свойства 7,6).

В силу свойства 1, данное утверждение справедливо и для строк.

8. Определитель равен нулю, если один из его столбцов (строк) представляет собой линейную комбинацию некоторых других столбцов (строк).

Рассмотрим определитель

;

у которого третий столбец представляет собой линейную комбинацию первого и второго столбцов с коэффициентами и :

= +

= 0 ó

= + = 0 + 0

(см.свойства 7,6)