Способ замены плоскостей проекций

Теорема 2

1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Теорема 3
2-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Вопрос 16. Перпендикулярность прямой и пл.-и

2 плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

Вопрос 17. Прямая параллельная плоскости

Прямая пар-льна пл-ости, когда она пар-на прямой, лежащей в этой плоскости.Если требуется провести прямую параллельно данной пло-ти, то сначала надо провести в пл-ти какую-либо прямую, а затем провести прямую, ей пар-ую, которая будет пар-ьна данной пло-ти.
В пл-ти можно провести неогр-нное число прямых линий, следо-ьно, можно провести неог-ное кол-во и прямых, параллельных плоскости.

Вопрос 18. Параллельные плоскости

Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны.

Вопрос 19. Способы преобразования чертежа. Способ замены плоскостей проекции

Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа замены плоскостей проекций: при сохранении неизменного положения фигуры в пространстве вводится новая плоскость проекций, перпендикулярная одной из основных плоскостей проекций; для получения новой проекции фигуры она ортогонально проецируется на введенную плоскость проекций

Правило построения новой проекции точки А.
1. Задать положение новой оси x₁ на поле плоскости проекций p₁ (или p₂).
2. Провести через старую горизонтальную А' (или старую фронтальную А") проекцию точки линию связи, перпендикулярную новой оси.
3. Отложить на новой линии связи от новой оси отрезок, равный z_A (или y_A) для нахождения новой, дополнительной А''' проекции точки.

Вопрос 20. Способы преобразования чертежа. Способ замены плоскостей проекции

Способ вращения - фигура приводится в частное положение относительно неизменной системы основных плоскостей проекций путем вращения вокруг некоторой оси.

Правило построения новой проекции точки А.
1. Задать i - ось вращения.
2. Провести a ^ i - плоскость вращения.
3. Найти O = a З i - центр вращения.
4. Определить R = |AO| - радиус вращения.
5. Задать b - плоскость совмещения.
6. Довернуть вращаемую точку в положение А1 до совмещения с плоскостью b.

Вопрос 21. Способ плоскопараллельного перемещения

Способ плоскопараллельного перемещения основан на том, что при параллельном переносе геометрического тела относительно плоскости проекций проекция его на эту плоскость не меняет своей формы и размеров, хотя и меняет положение. При этом если точка перемещается в плоскости, параллельной П1, то ее фронтальная проекция изображается в виде прямой, параллельной оси П2/П1. Если же точка перемещается в плоскости, параллельной П2, то ее горизонтальная проекция изображается в виде прямой, параллельной той же оси. На рис. 107 показан комплексный чертеж прямой АВ. Прямая не параллельна ни одной из плоскостей проекций. Требуется с помощью плоскопараллельного перемещения задать ей такое положение, чтобы она была параллельна одной из плоскостей проекций, например П2. Через произвольную точку А1, проводим прямую l1 параллельную оси П2/П1, и от этой точки на прямой откладываем отрезок, равный

А1В1. Из точки А1 проводим вертикальную линию связи, а из точки AT, — горизонтальную линию, на пересечении которых и будет новое положение фронтальной проекции А2'. Аналогично проведем вертикальную линию связи из точки В1 до пересечения с горизонтальной линией, проведенной из точки B2. Новое положение фронтальной проекции точки В получим на пересечении этих линий в точке В2'. После преобразования чертежа горизонтальная проекция прямой АВ стала параллельна плоскости П2, а значит, спроецировалась она на эту плоскость в натуральную величину.

Применяя метод плоскопараллельного перемещения, можно решать многие задачи, связанные с определением натуральной величины отрезков, углов, плоских фигур, а также заданием им нужного положения. Однако он связан с изменением положения геометрической фигуры в пространстве. В практике же встречаются задачи, при решении которых при преобразовании комплексного чертежа удобнее оставить положение проецирующего тела неизменным, а изменить положение плоскостей проекций.

Вопрос 22. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Линейчатые поверхности - поверхности, которые могут быть образованы с помощью прямой линии.
Нелинейчатые поверхности - поверхности, которые могут быть образованы только с помощью кривой линии.
Развертывающиеся поверхности - поверхности, которые после разреза их по образующей могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок.
Неразвертывающиеся поверхности - поверхности, которые не могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок.
Поверхности с постоянной образующей - поверхности, образующая которых не изменяет своей формы в процессе образования поверхности.
Поверхности с переменной образующей – пов-сти, обра-щая которых из-ется в процессе образ-я поверхности.

Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси —цилиндрическая, если скрещивается с осью — однополостный гиперболоид вращения. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых.

).

Вопрос 23. Частные виды поверхностей вращения

Пример: Сфера (получается вращением окружности вокруг оси, лежащей в той же плоскости и проходящей через её центр

Вопрос 24. Изображение многогранников

В качестве многогранников рассмотрим призмы и пирамиды. Грани призм и пирамид ограничиваются ребрами, являющимися прямолинейными отрезками, пересекающимися между собой. Поэтому построение проекций призм и пирамид сводится к построению проекций точек (вершин) и отрезков прямых – ребер. Призматическая поверхность неограниченной длины на чертеже может быть изображена проекциями фигуры, полученной при пересечении боковых граней призмы плоскостью, и проекциями ребер призмы. Основания призмы получают пересечением призматической поверхности двумя параллельными между собой плоскостями. На чертеже основания призмы располагают параллельно плоскости проекций. Одноименные проекции ребер призмы параллельны между собой. Для изображения поверхности пирамиды на чертеже используют фигуру сечения боковых граней пирамиды плоскостью и точку их пересечения – вершину. На чертеже пирамиду задают проекциями её основания, проекциями ребер и проекциями вершины, а усеченную пирамиду – проекциями обоих оснований и проекциями ребер.

Основание пирамиды на чертеже целесообразно располагать параллельно плоскости проекций. При этом грани призм и пирамид, которые перпендикулярны к плоскостям проекций, будут проецироваться на них в виде отрезков прямых линий. При пересечении призмы или пирамиды плоскостью в сечении получается фигура, ограниченная линиями 6 пересечения секущей плоскости с гранями призмы или пирамиды. Разверткой поверхности многогранника называют плоскую фигуру, полученную при совмещении с поверхностью всех его граней. Для построения развертки гранной поверхности необходимо определить размеры её граней. Построение любой грани многогранника может быть выполнено путем разбивки её на треугольники (триангуляции). Длина сторон в свою очередь может быть определена любым известных методов. Построение развертки призматической поверхности можно производить несколькими способами – Нормального сечения, триангуляции. Построение развертки боковой поверхности пирамиды можно проводить в следующем порядке. 1. Определить длину ребер и сторон основания пирамиды; 2. Выполнить чертеж развертки последовательным построением треугольников – граней пирамиды.

Вопрос 25. Пересечение поверхности пл-ью

При пересечении поверхности или какой-либо геометрической фигуры плоскостью получается плоская фигура, которую называют сечением.

Определение взаимного положения плоскости и поверхности - позиционная задача, для решения которой применяется метод вспомогательных секущих плоскостей

(Возможны три случая относительного расположения прямой и плоскости: 1) прямая принадлежит плоскости; 2) прямая параллельна плоскости; 3) прямая пересекает плоскость.).

В качестве вспомогательных секущих плоскостей используются проецирующиеся плоскости - плоскости перпендикулярные плоскостям проекций, поэтому основу метода вспомогательных секущих плоскостей составляет алгоритм решения задачи по нахождению линии пересечения поверхности проецирующей плоскостью.

Вопрос 26. Коническое сечение

Коническое сечение – этопересечение плоскости с круговым конусом.

Существует три главных типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола, кроме тогосуществуют вырожденные сечения: точка, прямая и пара прямых.

* Окружность можно рассматривать как частный случай эллипса.

Конические сечения могут быть получены как пересечение плоскости с двусторонним конусом

Вопрос 27. Взаимное пересечение поверхностей

Используется способы вспомогательных сфер и вспомогательных плоскостей.

Вопрос 28. Построение конуса

На рисунке показан способ построения развёртки перехода или (по его геометрическому названию) усечённого конуса.

Сначала строят по высоте, малому и большому диаметру боковой вид фигуры ACEB. Затем, как видно на рисунке, проводят продолжение сторон AC и BE до их пересечения в точке O. Затем из этой точки О проводят две дуги: большую радиусом R и малую радиусом r. А дальше поступают по разному.
Первый способ: прямую AB, т.е. большой диаметр, делят на 7 частей и затем полученным отрезком откладывают 22 раза на дуге AY. В конце этого занятия получают точку Y, которую соединяют с точкой O. Если, откладывая отрезки, штангельциркуль "съезжает" или "привирает" на пол-миллиметра, что реально, то "набранная сумма" (грехов) будет 11 мм.
Второй способ: отложить всего лишь 11 размеров и, замерив полученную дугу, отметить оставшуюся половину сразу. А можно и вовсе по-другому: отложить только семь размеров, отложить эту дугу три раза и потом, в конце, или в начале, добавить недостающий "отрезок" в 1/7.

Вопрос 29. Аксонометрия

Аксонометрия (от греч. axon — ось и греч. metreo — измеряю) — один из видов перспективы, основанный на методе проецирования (получения проекции предмета на плоскости), с помощью которого наглядно изображают пространственные тела на плоскости бумаги.

Аксонометрия делится на три вида:

1. изометрию (измерение по всем трем координатным осям одинаковое);

2. диметрию (измерение по двум координатным осям одинаковое, а по третьей — другое);

3. триметрию (измерение по всем трем осям различное).

В каждом из этих видов проецирование может быть прямоугольным и косоугольным. Аксонометрия широко применяется в изданиях технической литературы и в научно-популярных книгах благодаря своей наглядности.

Непосредственное проектирование окружности на плоскость можно заменить проектированием описанного вокруг неё квадрата с последующим вписанием в проекцию квадрата проекции окружности. При этом используются следующие свойства параллельного проектирования этих фигур:

1) точка пересечения диагоналей проекции квадрата есть центр проекции окружности;

2) точками касания проекции окружности к проекции квадрата остаются средние точки сторон проекции квадрата; 3) на­правление сторон проекции квадрата является направлением двух сопряжённых диаметров проекции окружности.