Анализ на чувствительность оптимального решения задачи линейного программирования

Хотя сам оптимальный план очень полезен, часто бывает интересно знать,как можно изменить те или иные параметры системы (до этого постоянные), чтобы улучшить решение, получить еще большую прибыль или уменьшить издержки. Значение параметров определяет оптимальное значение переменных и целевой функции. С целью улучшения решения многие параметры могут быть изменены. В наших примерах трудно поменять параметры, характеризующие технологический процесс, но изменить количество ресурсов (запасы), а также отпускные цены на товары вполне возможно. Обычно это связывают с привлечением дополнительных финансовых ресурсов, при этом необходимо ответить на ряд вопросов: - какой ресурс наиболее сильно влияет на изменение прибыли (издержек)? как изменится решение и целевая функция при изменении количества того или иного ресурса? - если какой-либо продукт не входит в оптимальный план, а по каким-то причинам желательно, чтобы он в него входил, то какой параметр, и в каком направлении следует изменить? - как повлияет на оптимальный план изменение цен на товары, и можно ли бесконтрольно увеличивать цены? и т.д. Поиск ответов на подобные вопросы и составляет сущность анализа решения. В задачах ЛП существенную информацию о влиянии изменений параметров можно получить из --отчета об устойчивости| в ходе поиска решения в MS Excel. Для ответа на другие вопросы типа --что, если| необходимо дополнительное исследование. Некоторое представление о том, как может меняться решение ЗЛП при изменении параметров, можно получить из анализа графического решения задачи.

I. Изменение оптимального решения при изменении целевых коэффициентов

В задаче №1 целевая функция имеет вид: P=200x +100x. 1 2

Если уменьшить цену шкафа от 200у.е. до 150у.е. и далее до 50у.е., линия уровня будет менять наклон. Проведем линию уровня 200x+100x=10000, (1) на рис.1.1, а теперь 150x+100x=10000, (2) на рис.1.1. В этом случае т.C остается оптимальной. Изменим цену шкафа на 50у.е., оптимальной станет т.B(60;90). Отсюда вывод: --существует определенный интервал устойчивости, в котором изменение целевых коэффициентов не приводит к изменению оптимального решения|. Конечно, значение целевой функции в точке оптимума изменится (за счет коэффициентов). Но дальнейшее изменение коэффициентов целевой функции (цены) может привести к изменению оптимального решения и целевой функции. Т.е., если значение целевого коэффициента выходит за пределы интервала устойчивости, оптимальное значение резко изменится, перейдет в другую угловую точку области допустимых планов. В этом случае надо заново решать ЗЛП. В нашей задаче, если C =150; C =100; P=150•80+100•70=12700. 1 2

Вывод: 1. Изменение коэффициентов целевой функции c не изменяют область допустимых решений. В этом случае изменяется вектор и направление линий уровня, изображающих целевую функцию.

2. До тех пор, пока изменение наклона вектора не превышает некоторых пределов, оптимальное решение задачи не меняется, значение самой целевой функции конечно изменится.

3. При выходе значений коэффициентов c за пределы устойчивости, j решение задачи перемещается в другую угловую точку и может очень сильно измениться.

4. --Допустимое увеличение| и --Допустимое уменьшение| для каждого целевого коэффициента c, при котором оптимальное решение не изменится, j приводится в табл.1.9 --Изменяемые ячейки| отч?та Excel об устойчивости. При этом: а) если x?0, т.е. товар входит в оптимальный план, имеется верхний и j нижний пределы для изменения соответствующего j - того коэффициента целевой функции; б) если x =0, то |Допустимое уменьшение| может быть как j угодно велико (товар вс? равно не войд?т в оптимальный план). Верхний предел --Допустимое увеличение| покажет, насколько надо увеличить c, чтобы j – тый j продукт вошел в оптимальный план. Величина, противоположная этому увеличению, называется нормированной стоимостью и показывает, насколько нынешняя цена товара ниже минимальной цены (или издержки выше максимальной), при которой этот товар может войти в оптимальный план. Если некоторый продукт не входит в оптимальный план, его нормированная стоимость <0, а е? величина показывает, на сколько надо увеличить норму прибыли этого продукта, чтобы он вош?л в оптимальный план.

5. Пределы устойчивости для изменения c даются в отч?те при условии, j что все остальные c (k?j) остаются неизменными. Одновременное изменение j двух или более коэффициентов может привести к изменению оптимального плана. Для оценки влияния одновременного изменения нескольких c, надо j вычислить относительное изменение, где - это предел либо увеличения, либо уменьшения c, и вычислить сумму этих относительных j изменений. Если сумма >1, оптимальное решение изменится, если <1 – нет.