Симметрия правильной пирамиды

1. Плоскости симметрии: при четном числе сторон основания — плоскости, проходящие через противолежащие боковые ребра; и плоскости, проходящие через медианы, проведенные к основанию противолежащих боковых граней (рис. 15).

Рис. 15

2. Ось симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии, проходящая через вершину правильной пирамиды и центр основания (рис. 16).

Рис. 16

Решение задач.

1. Найти угол между рёбрами правильного октаэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани.

Решение.

Рис.17

Пусть данный правильный октаэдр, а - угол между рёбрами данного октаэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани.

Рассмотрим четырёхугольник : , т.к. - правильный октаэдр. Тогда рассматриваемый четырёхугольник является ромбом.

Рассмотрим два треугольника и , эти два треугольника равны по двум сторонам и углу между ними. Значит .

Получили, что является ромбом и его диагонали равны, значит, он является и квадратом. Из чего следует, что = .

Контрольные вопросы и задания:

1. Ребро правильного октаэдра равно a. Найдите расстояние между двумя его противоположными вершинами.

2. Ребро правильного октаэдра равно a. Найдите расстояние между центрами двух смежных граней.

3. Ребро правильного октаэдра равно a. Найдите расстояние между противоположными гранями.

4. Определите количество граней, вершин и рёбер многогранника, изображённого на рисунке 17. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника.

Рис. 18