Решение типовых задач

Задача 1. Бросают две игральные кости. Пусть А – событие, состоящее в том, что сумма очков нечетная; В – событие, заключающееся в том, что хотя бы на одной из костей выпала двойка. Описать события А + В и АВ.

Решение. Сумма А + В представляет собой событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В. Поэтому А + В означает, что либо сумма выпавших очков будет нечетна, либо на одной из костей выпадет двойка, а на другой – четное число. Произведение АВ представляет собой событие, состоящего в наступлении и события А и события В вместе. Поэтому АВ – событие, состоящее в том, что на одной из костей выпала двойка (событие В), а на второй – нечетное число очков, тога сумма очков – нечетная (событие А).

Задача 2. Доказать, что

(А + В)(А + С)= А + ВС.

Доказательство. Событие (А + В)(А + С) состоит из элементарных событий, которые принадлежат и событию А + В и событию А + С, т.е. это множество элементарных событий, принадлежащих либо событию А, либо событию ВС. Тогда по определению суммы событий имеем

(А + В)(А + С)= А + ВС.

Геометрически событие (А + В)(А + С) представляет собой общую часть областей А + В и А + С (рис. 1.7), а событие А + ВС – объединение областей А и ВС (рис. 1.8), т.е. ту же самую область (А + В)(А + С).

Рис. 1.7 Рис. 1.8

Задача 3. Электрическая цепь, составленная по схеме, приведенной на рис. 1.9. Выход из строя элемента a – событие А, элемента b – событие В, элемента с – событие С. Записать выражение событий и , если означает разрыв цепи.

Решение. Разрыв цепи произойдет в том случае, если выйдет из строя элемент а и хотя бы один из элементов b, c. Эти события соответственно равны А и B + C. Поэтому,

.

 

Цепь будет замкнута в том случае, если не выйдет из строя элемент а и не выйдут из строя элементы b и c вместе. Эти события соответственно равны и . Следовательно,

 

Вопросы.

 

1. Что означают события А + А и АА?

2. Событие А – хотя бы одно из трех изделий бракованное; В – все три изделия доброкачественные. Что означает событие а) А + В; б) АВ?

3. Бросают две игральные кости. Пусть А – событие, состоящее в том, что сумма очков нечетная; В – событие, заключающееся в том, что хотя бы на одной из костей выпала единица. Описать событие .

4. Равносильны ли события А и В, если: 1) А = В; б) А + С = В + С?

5. Пусть А, В, С – три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что а) произошли все три события; б) произошло хотя бы одно из событий; в) произошли хотя бы два события; г) произошли два и только два события; д) произошло одно событие; е) ни одно событие не произошло; ж)произошло не более двух событий.

6. Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Событие А – выбранное число оканчивается нулем, событие В – данное число делится на пять. Что означают события В – А и АВ?

7. Доказать, что для любых событий А, В, С: (А + В) С = АС + ВС.

8. Пусть А, В и С – случайные события. Выяснить смысл равенств: а) АВС = В; б) А + В + С = В.

9. Доказать, что для любых событий А и В имеют место следующие равенства: а) ; б) .

10. Когда возможны равенства: а) А + В = А; б) ; в) А + В = АВ; г) АВ = А; д) ?

11. Рабочий обслуживает три автоматических станка. События А – первый станок потребует внимания рабочего в течение часа; В – второй станок потребует внимания рабочего в течение часа; С – третий станок потребует внимания рабочего в течение часа. Что означают события: а) АВС; б) А + В + С; в) ; г) ; д) ; е) А + В + С – АВС?

12. Пусть А, В – случайные события. Упростить следующие выражения для событий: а) ; б) .

13. Пусть А, В – случайные события, U – достоверное событие. Доказать, что образуют полную группу событий.

14. Пусть А и В – произвольные события. Доказать следующие равенства а) ; б) .

15. Для любого числа событий доказать следующие равенства а) ; б) .

16. Доказать, что события: а) и б) достоверны.

17. Доказать, что событие невозможно.

18. Каково условие совместности событий ?

19. Найти случайное событие Х из равенства

.

20. Прибор состоит из трех блоков первого типа и четырех блоков второго типа. Событие А_i (i = 1, 2, 3) – исправен i -й блок первого типа; В_j (j = 1, 2, 3, 4) – исправен j -й блок второго типа. Прибор работает, если исправен хотя бы один блок первого типа и не менее трех блоков второго типа. Найти выражение для события С, которое соответствует работе прибора.

 

Задачи.

В задачах 1.17.-1.22. доказать справедливость следующих то­ждеств:

1.17. А + А = А, АА = А, А + Ø= А, А Ø = Ø, АΩ = А, А + Ω = Ω.

1.18. = Ø, ┐Ø = Ω, Ø.

1.19. а) (правила де Моргана), б) Обобщить правила де Моргана на произвольное число п собы­тий.

1.20**. АВ + С = (А + С)(В + С) (дистрибутивность сложения относительно умножения).

1.21. .

1.22*. (А + В) - В = А - АВ = = А - В.

Замечание. Этот пример показывает, что «приведение подоб­ных членов» в алгебре событий недопустимо.

1.23. Пусть А, В и С —события, наблюдаемые в эксперименте причем А и В несовместны. Показать, что события АС и ВС также несовместны.

1.24. Показать, что:

а) если А В, то выполняются соотношения АВ = А, А + В = В; (**)

б) из справедливости любого из соотношений (**) следует А В.

1.25. Пусть А и В — наблюдаемые события в эксперименте.
Показать, что событие А + В можно разложить на сумму несовместных событий следующими способами:

а) А + В = А+ (В - АВ);б) ;в) .

1.26*. Показать, что если , то .

1.27. Показать, что если , то (А - В)+ В = А.

Доказать тождества:

1.28. .

1.29. .

1.30. .

1.31*. АС-В = АС- ВС.

1.32*. (А - В) + (А - С) = А - ВС.

Симметрическая разность двух событий А ∆ В определяется следу­ющим образом:

А ∆ В= (А - В) + (В - А).

Доказать следующие тождества:

1.33. А ∆ В = (А + B) - АВ.

1.34. .

1.35. .

1.36. Пусть С = А ∆ В. Доказать, что А ∆ С = В.

1.37. Найти случайное событие X из равенства

1.38**. Доказать, что А — В = Ø тогда и только тогда, когда А В.

1.39*. Очередной посетитель входит в зал музея, где уже со­бралось 2 n человек, и начинает отыскивать знакомых среди со­бравшихся. Интересующие нас события: А = {среди собравшихся найдется п человек, знакомых посетителю}, В = {среди собрав­шихся найдется п человек, не знакомых посетителю}. Доказать, что события А + В и достоверные.

Пусть А, В, С — три события, наблюдаемые в данном экспе­рименте. В задачах 1.40.-1.42. выразить указанные события в алгебре событий.

1.40. Е₁ = {из трех событий А, В, С произойдет ровно одно}, F₁ = {из трех событий А, В, С произойдет ровно два}.

1.41. Е₂ = {из трех событий А, В, С произойдет хотя бы одно}, F₂ = {из трех событий А, В, С произойдет не меньше двух}.

1.42. Е₃ = {из трех событий А, В, С не произойдет ни од­ного}, F₃ = {из трех событий А, В, С произойдет хотя бы два}, G = {из трех событий А, В, С не произойдет хотя бы одно}.

1.43. Поражение боевого самолета может наступить или в ре­зультате поражения обоих двигателей (события D₁ и D₂), или в результате попадания в кабину пилота (событие К).Произво­дится длительный обстрел самолета из зенитного орудия. Любое попадание в соответствующий агрегат приводит к его поражению. Пусть событие А = {поражение самолета}.

а) Описать множество элементарных исходов.

б) Записать А в алгебре событий как непосредственно с помощью событий D₁, D₂ и К, так и через элементарные исходы.

в)** Получить из второй записи первую путем допустимых ал­гебраических преобразований.

1.43. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной
на рис. 1.10 Событие A_k = {элемент с номером k вышел из строя},
k = 1, 2, 3, 4. Событие В = {разрыв цепи}. Выразить событие В
в алгебре событий А₁, А₂, А₃, А₄.

рис. 1.10

1.44. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис. 1.11 Событие A_k = {элемент с номером k вышел из строя}, k = 1, 2, 3, 4, 5. Событие В = {разрыв цепи}. Выразить событие В в алгебре событий А₁, А₂, А₃, А₄, А₅.

рис. 1.11

1.45. На отрезке [ а, b ]наудачу ставятся две точки. Пусть х и y - координаты этих точек. Изобразить на плоскости Оху обла­сти, соответствующие событиям Ω, А, В, АВ, А- В, А + В, где А = {вторая точка ближе к левому концу отрезка, чем первая точка к правому концу}, В = {расстояние между точками меньше половины длины отрезка}.

1.46. Произведено три выстрела из орудия по цели. Событие
A_k = {попадание при k -мвыстреле} (k = 1, 2, 3).

а) Выяснить состав множества Ω, выразив каждый элементарный исход через события A_k.

б) Записать в алгебре событий следующие события:

А = {ровно одно попадание}, В = {хотя бы одно попадание}, С = {хотя бы один промах}, D = {не меньше двух попаданий}, Е = {попадание не раньше, чем при третьем выстреле}.

1.47. Из ящика, содержащего 10 деталей, из которых 3 бракованных, наудачу последовательно и без возвращения извлекается
по одной детали до появления бракованной, после чего опыт пре­
кращается. Обозначим исход i -го испытания = {бракованная
деталь появится при i -м испытании}. Рассмотрим событие А =
= {придется производить третье по счету извлечение детали}.

а) Сконструировать элементарные исходы данного опыта с помощью алгебраических операций над исходами , i = 1, 2,...

б) Записать событие А через элементарные исходы и упро­стить запись путем алгебраических преобразований.

1.48. Два баскетболиста по очереди бросают мяч в корзину до
первого попадания. Выигрывает тот, кто первый забросит мяч.
События: А_k = {первый баскетболист попадает при своем k -м
броске}, B_k = {второй баскетболист попадает при своем k -мброске};
A = {выигрывает первый баскетболист}, В = {выигрывает вто­рой}. Первый баскетболист бросает первым. Определить состав
множества элементарных исходов и записать события А и В в ал­гебре событий.

1.49. Показать, что совокупность элементарных исходов лю­бого эксперимента с конечным множеством Ωобразует разбиение множества Ω.

1.50. Эксперимент состоит в раскладывании наудачу трех занумерованных шаров по трем ящикам. В каждый ящик может поместиться любое число шаров. Наблюдаемый результат – тройка чисел (i, j, k), где i, j, k – номера ящиков, в которые попали соответственно первый, второй и третий шары. События А ={первый ящик пустой}, В ={в каждый ящик попало по одному шару}, С ={все шары попали в один ящик}.Образуют ли события А, В и С полную группу событий?

1.51. Показать, что система событий ,где D₁, D₂ и К — наблюдаемые события в экспери­менте, описанном в задаче 1.43., образует разбиение множества Ω, для данного эксперимента.

1.52. Множество элементарных исходов некоторого экспери­мента состоит из четырех исходов. Сколько различных разбиений можно составить для данного множества?

Пусть А — произвольное наблюдаемое в некотором экс­перименте событие такое, что А Ω и А Ø. Показать, что система множеств образует разбиение множества Ω.

Пусть Ω = {1, 2, 3,... } — множество натуральных чи­сел. Показать, что система { S₁, S₂, S₃ }, где S₁ = { х | х = 3 п; п = 1, 2, 3,...}, S₂ = { x | x = 3 п - 1; n = 1,2, 3,.,.}, S₃ = { х | х = 3 п - 2; п = 1, 2, 3,... }, образует разбиение множества Ω.

1.53. Для некоторого эксперимента множество Ωсодержит ров­но п элементарных исходов. Показать, что число всех наблюдае­мых событий, содержащихся в поле событий для данного экспери­мента, равно 2 ^п.

1.54. Случайным образом выбирают одну из 28 костей домино. Опишите пространство элементарных исходов Ω.

Перечислите все элементарные исходы, из которых состоят следующие события:

а) А – на выбранной кости очки совпадают;

б) В – сумма очков на выбранной кости равна шести;

в) С – произведение очков на кости нечетно;

г) B / A; д) АВ;е) АС; ж) АВ / С; з) (А В) С.

1.55. По мишени производят три выстрела. Пусть событие A_i i = 1, 2, 3, - попадание при i -м выстреле. Представьте в виде объединения и пересечения событий и следующие события:

а) А – три попадания в мишень;

б) В – три промаха;

в) С – хотя бы одно попадание;

г) D – хотя бы один промах;

д) E – не менее двух попаданий;

е) F – не больше одного попадания;

ж) G – попадание в мишень не раньше, чем при третьем выстреле.

1.56. Пусть А, В, С – случайные события. Выясните смысл равенств:

а) АВС = А; б) А В С = А.

1.57. Пусть А В. Упростите выражения:

а) АВ; б) А В = B; в) АВС; г) А В С.

1.58. Используя свойства операций над событиями, докажите следующие равенства:

а) ; б) .

1.59. Два игрока играют в шахматы. Событие А – выиграл первый игрок; событие В – выиграл второй игрок. что означают события:

а) ; б) ; в) .

1.60. Схема электрической цепи приведена на рис. 1.12 через участок схемы, вышедши из строя, ток не проходит. Пусть событие A_i – выход из строя элемента i, i = . Выразите события и через события , если А – выход из строя всей схемы.

рис. 1.12

1.61. На рис. 1.13 представлена структурная схема надежности некоторой системы. Пусть события А и А_i означают отказ системы и i – го элемента соответственно, i = . Выразите события и через события А_i и , i = .

рис. 1.13