Свойства детерминантов

Определитель матрицы

Детерминант матрицы – сумма всевозможных правильных произведений, взятых со знаком плюс (минус) если число инверсий чётное (нечётное)

Свойства детерминантов

1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы:

Это свойство вытекает из определения детерминанта и выражает равноправие строк и столбцов определителя.

1. Умножение всех элементов строки или столбца определителя на некоторое число λ равносильно умножееию определителя на это число:

.

Такое свойство определителей позволяет, в частности, выносить общий множитель элементов строки или столбца за знак определителя.

 

1. Если в определителе переставить местами любые две строки или два столбца, то определитель изменяет свой знак на противоположный.

.

 

1. Если матрица содержит нулевую строку (столбец), то определитель этой матрицы равен нулю:

.

 

1. Если две строки (столбца) матрицы равны между собой, то определитель этой матрицы равен нулю:

.

 

1. Если две строки (столбца) матрицы пропорциональны друг другу, то определитель этой матрицы равен нулю:

.

 

1. Определитель матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

.

 

1. Если все элементы k -ой строки (столбца) определителя представлены в виде сумм a_{k j} + b_{k j}, то определитель можно представить в виде суммы соответствующих определителей:

.

 

1. Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или соответствующего столбца), умноженные на одно и тоже число:

 

1. Пусть A и B – квадратные матрицы одного и того же порядка. Тогда определитель произведения матриц равен произведению определителей: