2017-11-01
424Обратная матрица
Пусть А – квадратная матрица порядка п. Матрица А -1 называется обратной к матрице А, если
| АА -1 = А -1 А = Е. |
Из того, что матрица А -1 может быть умножена на А как справа, так и слева, вытекает, что А -1 – тоже квадратная матрица порядка п.
Упражнение 1. Доказать, что (А -1)-1 = А.
Решение.
Пусть В = А -1. Тогда, поскольку по определению обратной матрицы
АВ = ВА = Е, матрица А является обратной для матрицы В, то есть
(А -1)-1 = А.
Из теоремы 3.1 следует, что | A || A -1| = | E | = 1. Таким образом, если у матрицы А существует обратная, то | A | ≠ 0 (такие матрицы называются невырожден-ными) и
| A -1| = | A |-1.
Для квадратной матрицы А = || aij || порядка п присоединенной называется матрица
Пример 2. Найдем для матрицы
присоединенную. Имеем
Теорема об обратной матрице. Для любой невырожденной матрицы А обратная матрица единственна и имеет вид
|
Пример 3. Найдем обратную матрицу для
Для нахождения присоединенной матрицы найдем сначала все алгебраические дополнения:
Следовательно (напомним, что алгебраические дополнения для элементов строк в присоединенной матрице надо расположить в соответствующем столбце),
Поскольку | A | = 1· A 11 + 0· A 12 + 1· A 13 = - 9, получаем:
Упражнение 2. Найти обратную матрицу для
Решение.
Проверим невырожденность матрицы А:
следовательно, обратная матрица существует. Вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы А:
Построим присоединенную матрицу:
Используя теорему 3.3, находим обратную матрицу:
Упражнение 3. Доказать, что (АВ)-1 = В -1 А -1.
Решение.
Пусть С = В -1 А -1. Тогда, применяя свойство 1 произведения матриц, понятие единичной матрицы (лекция 1) и определение обратной матрицы, получим:
Следовательно, матрица С = В -1 А -1 удовлетворяет определению обратной матрицы для матрицы АВ. Значит, (АВ)-1 = В -1 А -1.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ
«Обратная матрица»
Задача 1.
Найти обратную матрицу для матрицы
и проверить выполнение условий А А -1 = А -1 А = Е.
Указание
Убедитесь, что матрица А – невырожденная, и примените способ вычисления обратной матрицы.
Решение
Убедимся, что матрица А – невырожденная. Δ А = 1·4 - 2·(-1) ≠ 0, следовательно, А -1 существует.
Вычислим алгебраические дополнения к элементам А:
Применим способ вычисления обратной матрицы:
.
| Не забудьте, что обратная матрица образована из алгебраических дополнений к элементам транспонированной матрицы! |
Найдем произведения А А -1 и А -1 А:
Таким образом, найденная матрица А -1 отвечает определению обратной матрицы.
Ответ: 
.
Задача 2.
Найти обратную матрицу для матрицы
.
Указание
Убедитесь, что матрица А – невырожденная, и примените способ вычисления обратной матрицы.
Решение
Следовательно, матрица А невырожденная, и обратная матрица существует.
Вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы А:
Обратная матрица имеет вид:
Ответ: 
.
Задача 3.
Найти обратную матрицу для матрицы
.
Указание
Убедитесь, что матрица А – невырожденная, и примените способ вычисления обратной матрицы.
Решение
Вычислим определитель матрицы А разложением по первому столбцу:
.
Следовательно, обратная матрица для матрицы А существует.
Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы А:
Значит,
.
Ответ: 
.
Задача 4.
Найти обратную матрицу для матрицы
.
Указание
Убедитесь, что матрица А – невырожденная, и примените способ вычисления обратной матрицы.
Решение
.
Ответ: 
