УТВЕРЖДАЮ
Ректор университета
____________ О.Н. Федонин
«» ____________ 2017 г.
МАТЕМАТИКА
Методические указания к выполнению
заданий расчетно-графической работы для
студентов I курса очной формы обучения
по направлениям подготовки 11.00.00 «Электроника,
радиотехника и системы связи», 13.00.00 «Электро- теплоэнергетика», 15.00.00 «Машиностроение»,
27.00.00 «Управление в технических системах»
(I семестр)
Брянск 2017
УДК 511
Математика [Текст]+[Электронный вариант]: Методические указания к выполнению заданий расчетно-графической работы для студентов I курса очной формы обучения по направлениям подготовки 11.00.00 «Электроника, радиотехника и системы связи», 13.00.00 «Электро- теплоэнергетика», 15.00.00 «Машиностроение», 27.00.00 «Управление в технических системах» (I семестр). − Брянск: БГТУ, 2017. − 30с.
Разработали: Н.А. Ольшевская, доц.
Г.Г. Цуленева, доц.
Рекомендовано кафедрой “Высшая математика” БГТУ
(протокол № 1 от 5.09.17)
Методические указания публикуются в авторской редакции
|
|
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………………….4
Задания к расчетно-графической работе……………………...….5
Пример заданий контрольной работы №1……………………....21
Пример заданий контрольной работы №2……………………....22
Теоретические вопросы к экзамену……………………………...22
Пример практической части экзаменационного билета………..24
Открытый банк экзаменационных заданий……………………..25
Список рекомендуемой литературы……………………………..31
ВВЕДЕНИЕ
Настоящие методические указания ориентированы на студентов первого курса очной формы обучения инженерно-технических направлений подготовки. Они содержат задания к расчетно-графической работе, примеры заданий контрольных работ, теоретические вопросы для подготовки к экзамену и вариант его практической части, а также открытый банк экзаменационных задач.
В работе приведены примеры решения наиболее сложных задач, это задачи №7 и №8 РГР.
Перед решением задач №3,4,5 рекомендуем разобрать аналогичные решенные задачи, приведенные в методических указаниях [6].
ЗАДАНИЯ К РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЕ
Задание №1
Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя методами:
а) по правилу Крамера; б) методом Гаусса; в) с помощью обратной матрицы.
Задание №2
Решить следующую задачу.
1. Определить модуль равнодействующей двух равных по модулю сходящихся сил |F1|=|F2|=5Н, образующих между собой угол .
|
|
y |
x |
F2 |
Рис.1 |
F1 |
R |
F1 |
y |
x |
F2 |
Рис.2 |
3. Равнодействующая R двух равных по модулю сходящих сил направлена по оси Оу и равна по модулю 10Н. Определить в градусах угол, образованный вектором силы с положительным направлением оси Ох (рис.2).
y |
x |
F2 |
Рис.3 |
F1 |
F3 |
, если известны углы, образованные векторами этих сил с осью Ох:
t ABQABgAIAAAAIQA4/SH/1gAAAJQBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC8BAABfcmVscy8ucmVsc1BLAQIt ABQABgAIAAAAIQBYyGzEdgcAAOg7AAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMvZTJvRG9jLnhtbFBL AQItABQABgAIAAAAIQDe8IaN3wAAAAkBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAANAJAABkcnMvZG93bnJldi54 bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAA3AoAAAAA ">
y |
x |
F2 |
Рис.4 |
F1 |
F3 |
5. Какую по модулю силу F3 надо приложить к сходящимся силам образующим с осью Ох углы , чтобы равнодействующая этих трех сил равнялась нулю (рис.4)?
y |
x |
F2 |
Рис.5 |
F1 |
R |
6. Равнодействующая |R|=10Н двух сходящихся сил образует с осью Ох угол . Сила |F1|=5Н образует с этой же осью Ох угол . Определить модуль силы |F2| (рис.5).
А |
x |
y |
F2 |
F1 |
Рис.6 |
7. На твердое тело в точке А действуют силы F1 и F2, |F1|=6H, |F2|=3H, линии действия которых в плоскости Оху. Определить сумму проекций этих сил на ось Ох, если угол (рис. 6).
F1 |
F2 |
Рис.7 |
F1 |
F2 |
x |
F3 |
x |
Рис.8 |
y |
A |
сумму проекций заданных сил на ось Ах, если (рис. 8).
Рис.9 |
х |
y |
F3 |
F2 |
F1 |
10. На твердое тело в точке О действует плоская система сходящихся сил
. Определить сумму проекций заданных сил на ось Оу, если заданы углы (рис. 9).
11. Для плоской системы сходящихся сил F1=3 i +4 j; F2=5 j; F3=2 i определить модуль равнодействующей силы и угол, который она образует с положительным направлением оси Ох.
12. Равнодействующая сходящихся сил F1 и F2 равна по модулю 8Н и образует с горизонтальной осью угол . Вектор силы F1направлен по оси Ох, а вектор силы F2 образует с этой осью угол . Определить модуль силы F1.
13. Плоская система трех сходящихся сил F1, F2 и F3 находится в равновесии. углы, образованные векторами сил F1 и F2 с положительным направлением горизонтальной оси Ох, соответственно равны . Определить модуль силы F3.
14. Задана проекция Rx=5Н равнодействующих двух сходящихся сил F1 и F2 на горизонтальную ось Ох. Проекция силы F1 на эту же ось F1x=7Н. Определить алгебраическое значение проекции на ось Ох силы F2
15. Определить модуль равнодействующей сходимости сил F1 и F2, если известны их проекции на декартовы оси координат: F1x=3H, F1y=6H, F2x=5H, F2y=4H.
16. Определить, сходится ли данная плоская система трех сходящихся сил в равновесии, если известны проекции сил на оси координат: F1x=10H, F1y=2H, F2x= -4H, F2y=3H, F3x= -6H, F3y= -5H.
17. Равнодействующая плоской системы сходящихся сил F1 и F2,F3 и F4 равна 0. Определить модуль силы F1, если известны проекции трех других сил на оси координат: F2x= 4H, F2y=7H, F3x= -5H, F3y= -5H, F4x= -2H, F4y=0.
F1 |
Рис.10 |
F2 |
a |
y |
x |
19. Определить в градусах угол между вектором равнодействующей R системы сил F1=3 i +2 j; F2=5 i +7 j и положительным направлением оси Оу.
20. Определить модуль равнодействующей двух сил угол , угол (рис.10).
|
|
21. Определить угол, который образует равнодействующаяR с положительным направлением оси Оу, если угол , угол (рис.11).
F3 |
x |
Рис.12 |
F1 |
F2 |
y |
,угол (рис.12).
23. Равнодействующая R=10Н двух сходящихся сил образует с вертикальной осью угол . . Найти (рис.13).
Рис.13 |
F1 |
F2 |
y |
x |
R=8Н, . Построить силу , определить ее модуль и направляющие углы (рис. 14).
Рис.14 |
F1 |
R |
y |
x |
26. По заданным проекциям силы F на оси координат Fх=20Н, Fу=25Н, Fz=30Н определить модуль этой силы.
Рис.15 |
x |
R |
z |
y |
28. Определить косинус угла между вектором силы F=3 i +2,45 j +7 k и осью координат Ох.
29. Модуль равнодействующей R пространственной системы сходящихся сил равен 150Н. Определить ее проекцию на координатную ось Оу, если даны углы (рис.15).
30. Определить модуль равнодействующей сил , приложенных к точке А, как показано на рис 16.
F3 |
y |
Рис.16 |
F1 |
А |
F2 |
x |
z |
32. Две силы F1=5i+7j+9k иF2=4i+9j+11k приложены в центре О системы прямоугольных координат О хуz. Определить модуль равнодействующей силы.
Задание №3
Даны координаты вершин пирамиды А1 А2 А3 А4.
Построить пирамиду.
Найти: 1) длину ребра А1 А2;
2) угол между ребрами А1 А2 и А1 А4;
3) площадь грани А1А2А3;
4) объем пирамиды.
Вариант | А1 | А2 | А3 | А4 |
(2; 3; 2) | (10; 7; 3) | (6; 6; 3) | (8; 9; 5) | |
(3; 5; 2) | (1; 7; 5) | (5; 6; 8) | (1; 6; 4) | |
(6; 1; 4) | (3;-3; 8) | (5;-5; 8) | (8; 3; 3) | |
(2; 5; 4) | (5; 3; 6) | (8; 3; 5) | (8; 2; 10) | |
(3; 4; 3) | (7;-4; 4) | (6; 0; 4) | (9; 10; 6) | |
(1; 2; 3) | (3; 4; 6) | (-3; 1; 6) | (3; 3; 5) | |
(3; 5; 1) | (0; 1; 5) | (1; 0; 5) | (7; 9; -1) | |
(5;-2; 4) | (7; 1; 6) | (7; 4; 5) | (8; 4; 10) | |
(1; 2; 1) | (9;-2; 2) | (-3; 5; 0) | (7; 8;-2) | |
(4; 1; 3) | (2; 3; 6) | (5;-3; 6) | (3; 3; 5) | |
(3;-1; 2) | (7; 2; 6) | (9; 0; 6) | (5; 1; 3) | |
Вариант | А1 | А2 | А3 | А4 |
(3; 5; 4) | (1; 8; 6) | (-1; 2; 6) | (9;-1; 1) | |
(1; 1; 2) | (-3;9; 3) | (-2; 5; 3) | (7; 7; -1) | |
(1; 4; 3) | (-1; 6; 6) | (6; -4; 0) | (2; 2; 1) | |
(2; 4; 1) | (6; 7; 5) | (7; 6; 5) | (6; 8; 3) | |
(1; 2; 2) | (3; 5; 4) | (5;-1; 4) | (7; 8; 5) | |
(2;-2; 1) | (10; 2; 2) | (6; 1; 2) | (8; 4; 4) | |
(3; 4;-1) | (1; 6; 2) | (5; 5; 5) | (1; 5; 1) | |
(2; 5; 3) | (-1; 1; 7) | (1; -1; 7) | (4; 7; 2) | |
(1; 4; 2) | (4; 2; 4) | (7; 2; 3) | (7; 1; 8) | |
(3; 1; 4) | (7; -7; 5;) | (6; -3; 5) | (9; 7; 7) | |
(2; 4; 3) | (4; 6; 6) | (-2; 3; 6) | (4; 5; 5) | |
(5;-2;-1) | (2; -6; 3) | (3; -7; 3) | (9; 2; -3) | |
(5; 2; 1) | (7; 5; 3) | (7; 8; 2) | (8; 8; 7) | |
(2;-1; 7) | (10;-5; 8) | (-2; 2; 6) | (8; 5; 4) | |
(4; 7; 8) | (2; 9; 11) | (5; 3; 11) | (3; 9; 10) | |
(2; 1; 3) | (6; 4; 7) | (8; 2; 7) | (4; 3; 4) | |
(1; 5; 2) | (-1; 8; 4) | (-3; 2; 4) | (7; -1;-1) | |
(6; 1; 4) | (2; 9; 5) | (3; 5; 5) | (12; 7; 1) | |
(6; 5; 1) | (4; 7; 4) | (11; -3; -2) | (7; 3;-1) | |
(3; 1; 5) | (7; 4; 9) | (8; 3; 9) | (7; 5; 7) | |
(3; 2; 6) | (5; 5; 8) | (7; -1; 8) | (9; 8; 9) |
|
|
Задание №4
Дано: a= l p + m q, b= n p - k q, угол между векторами p и q равен p/ f.
Значения коэффициентов l, m, n, k, f и модули векторов p и q даны ниже для каждого варианта.
Вычислить:
1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах а и в;
2) угол между диагоналями;
3) площадь параллелограмма.
Вариант | | p| | | q| | l | m | n | k | F |
Вариант | | p | | | q | | l | m | n | k | F |
Задание №5
Решить следующие задачи.
1. Написать уравнение эллипса, проходящего через точку пересечения гиперболы х 2- у 2=2 с прямой х+у -2=0, если известно, что фокусы эллипса совпадают с фокусами гиперболы.
2. Составить уравнение гиперболы, имеющие общие фокусы с эллипсом 24 х 2+49 у 2=1176 при условии, что ее эксцентриситет e=1,25.
3. Написать уравнение окружности такой, чтобы ее диаметром оказался отрезок прямой х+у -4=0, заключенный между осями координат.
4. Большая ось эллипса втрое больше его малой оси. Составить каноническое уравнение этого эллипса, если он проходит через точку М(3; ).
5. Дана гипербола х 2- у 2=8. Составить уравнение эллипса, проходящего через точку М(4;6) и имеющего фокусы, которые совпадают с фокусами данной гиперболы.
6. Найти точки пересечения параболы у 2=8 х с эллипсом, у которого правый фокус совпадает с фокусом этой параболы, большая полуось равна 4 и фокусы лежат на оси Ох.
7. Фокусы гиперболы лежат в точках F1(;0) и F2(;0). Гипербола проходит через точку А(2;0). Найти уравнение ее асимптот.
8. Найти параметр р параболы у 2=2 рх, если известно, что эта парабола проходит через точки пересечения прямой у=х с окружностью х 2+ у 2-6 х =0.
9. Найти точки пересечения параболы у 2= х с прямой, проходящей через фокус этой параболы параллельно ее директрисе.
10. Через правый фокус гиперболы 4 х 2-5 у 2=20 проведены прямые, параллельные ее асимптотам. Определить точки пересечения этих прямых с гиперболой.
11. Написать уравнение окружности такой, чтобы ее центр совпадал с фокусом параболы у 2=8 х и чтобы окружность прошла через начало координат.
12. Оси гиперболы совпадают с осями координат. Гипербола проходит через точки параболы х 2=2 у с прямой х -2 у +6=0. Составить уравнение этой гиперболы.
13. Эллипс проходит через точку пересечения прямой 3 х +2 у =7 с параболой у 2=4 х (взять точку с меньшей абсциссой). Оси эллипса совпадают с осями координат. Составить уравнение этого эллипса, если его эксцентриситет равен 0,6.
14. Эксцентриситет гиперболы в 2 раза больше углового коэффициента ее асимптоты. Гипербола проходит через точку М(3;-1), ее действительная ось лежит на оси Ох, а центр в начале координат. Найти точки пересечения этой гиперболы с окружностью х 2+ у 2=10.
15. Написать уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, а осью симметрии является ось Ох, если известно, что расстояние от ее фокуса до центра окружности х 2+ у 2-10 х -8 у +25=0 равно 5.
16. Составить каноническое уравнение эллипса, правая вершина которого совпадает с правым фокусом гиперболы 8 х 2- у 2=8. Эллипс проходит через точки пересечения параболы у 2=12 х с данной гиперболой.
17. Вычислить расстояние от фокуса гиперболы 4 х 2-5 у 2=20 до ее асимптот. Найти эксцентриситет этой гиперболы.
18. Найти точки пересечения параболы у 2= х с окружностью, которая проходит через начало координат, имеет центр на оси Ох и радиус, равный 5.
19. Составить уравнение эллипса, если его фокусы совпадают с фокусами гиперболы 4 х 2-5 у 2=20, аэксцентриситет эллипса равен 0,6.
20. Окружность имеет центр в левой вершине гиперболы х 2-4 у 2=16 и радиус, равный вещественной полуоси этой гиперболы. Найти точки пересечения этой окружности с асимптотами данной гиперболы.
21. Составить уравнение гиперболы, имеющей эксцентриситет e=1,5, если известно, что ее фокусы совпадают с фокусами эллипса 2 х 2+5 у 2=30.
22. Составить уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок прямой х+у -4=0, вырезанный параболой у 2=2 х.
23. Найти расстояние от фокуса параболы 8 у = х 2 до прямой 3 х +4 у +2=0.
24. Написать уравнение окружности, проходящей через точки А(3;0) и В(-1;2), если известно, что ее центр лежит на прямой х-у +2=0.
25. Вычислить расстояние от центра окружности х 2+ у 2=10 х до асимптот гиперболы х 2-4 у 2=20.
26. Составить каноническое уравнение эллипса, сумма полуосей которого равна 8 и расстояние между фокусами равно 8.
27. В эллипс 24 х 2+49 у 2=1176 вписан прямоугольник, две противоположные стороны которого проходят через фокусы. Вычислить площадь этого прямоугольника.
28. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(5;0) и В(1;4), если центр ее лежит на прямой х+у =3.
29. Написать каноническое уравнение эллипса, у которого эксцентриситет равен 0,8, а большая полуось больше малой полуоси на 2 единицы.
30. Найти каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точку М(;2) и имеющей асимптоты 3 у =± х.
31. В эллипс х 2+4 у 2=4 вписан прямоугольник, площадь которого равна 4. Написать уравнения диагоналей этого прямоугольника.
32. Через фокус параболы у 2=4 х под острым углом к оси Ох проведена прямая. Написать уравнение этой прямой, если длина образовавшейся хорды равна 4,5.
Задание №6
Даны: координаты вершин пирамиды А1 А2 А3 А4.
Найти: 1) уравнение плоскости А1 А2А3;
2) уравнения прямой А1 А2;
3) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1 А2 А3;
4) угол между ребром А1 А4 и гранью А, А2 А3.
Вариант | А1 | А2 | А3 | А4 |
(2; 3; 2) | (10; 7; 3) | (6; 6; 3) | (8; 9; 5) | |
(3; 5; 2) | (1; 7; 5) | (5; 6; 8) | (1; 6; 4) | |
(6; 1; 4) | (3;-3; 8) | (5;-5; 8) | (8; 3; 3) | |
(2; 5; 4) | (5; 3; 6) | (8; 3; 5) | (8; 2; 10) | |
(3; 4; 3) | (7;-4; 4) | (6; 0; 4) | (9; 10; 6) | |
(1; 2; 3) | (3; 4; 6) | (-3; 1; 6) | (3; 3; 5) | |
(3; 5; 1) | (0; 1; 5) | (1; 0; 5) | (7; 9; -1) | |
(5;-2; 4) | (7; 1; 6) | (7; 4; 5) | (8; 4; 10) | |
(1; 2; 1) | (9;-2; 2) | (-3; 5; 0) | (7; 8;-2) | |
(4; 1; 3) | (2; 3; 6) | (5;-3; 6) | (3; 3; 5) | |
(3;-1; 2) | (7; 2; 6) | (9; 0; 6) | (5; 1; 3) | |
(3; 5; 4) | (1; 8; 6) | (-1; 2; 6) | (9;-1; 1) | |
(1; 1; 2) | (-3;9; 3) | (-2; 5; 3) | (7; 7; -1) | |
(1; 4; 3) | (-1; 6; 6) | (6; -4; 0) | (2; 2; 1) | |
(2; 4; 1) | (6; 7; 5) | (7; 6; 5) | (6; 8; 3) | |
(1; 2; 2) | (3; 5; 4) | (5;-1; 4) | (7; 8; 5) | |
(2;-2; 1) | (10; 2; 2) | (6; 1; 2) | (8; 4; 4) | |
(3; 4;-1) | (1; 6; 2) | (5; 5; 5) | (1; 5; 1) | |
(2; 5; 3) | (-1; 1; 7) | (1; -1; 7) | (4; 7; 2) | |
Вариант | А1 | А2 | А3 | А4 |
(1; 4; 2) | (4; 2; 4) | (7; 2; 3) | (7; 1; 8) | |
(3; 1; 4) | (7; -7; 5;) | (6; -3; 5) | (9; 7; 7) | |
(2; 4; 3) | (4; 6; 6) | (-2; 3; 6) | (4; 5; 5) | |
(5;-2;-1) | (2; -6; 3) | (3; -7; 3) | (9; 2; -3) | |
(5; 2; 1) | (7; 5; 3) | (7; 8; 2) | (8; 8; 7) | |
(2;-1; 7) | (10;-5; 8) | (-2; 2; 6) | (8; 5; 4) | |
(4; 7; 8) | (2; 9; 11) | (5; 3; 11) | (3; 9; 10) | |
(2; 1; 3) | (6; 4; 7) | (8; 2; 7) | (4; 3; 4) | |
(1; 5; 2) | (-1; 8; 4) | (-3; 2; 4) | (7; -1;-1) | |
(6; 1; 4) | (2; 9; 5) | (3; 5; 5) | (12; 7; 1) | |
(6; 5; 1) | (4; 7; 4) | (11; -3; -2) | (7; 3;-1) | |
(3; 1; 5) | (7; 4; 9) | (8; 3; 9) | (7; 5; 7) | |
(3; 2; 6) | (5; 5; 8) | (7; -1; 8) | (9; 8; 9) |
Задание №7
Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.
Задание №8
Исследовать функцию и построить график.
y = ex (2x2-5x+4) | y = | ||
y = (lnx-2) | y = 1- +arctg2x | ||
y = (3,3 +0,2x-0,3x2) | y = ln(x2-x+1) | ||
y = | y = ex(2x2+x+1) | ||
y = -1-arctg(x/2) | y = x3(3lnx-1) | ||
y = 2x2+5x+ln½x½ | y= (3,8+1,3x-0,3x2) | ||
y = e-x(2x2+3x+2) | y = 2ln(x2+1)-3arctgx | ||
y = x3/2(lnx- ) | y = 0,3x-1-arctg3x | ||
y = (2,8+0,8x-0,3x2) | y = (x2-5) | ||
y = | y = ln(x2+9)- arctg | ||
y = 1- +arctg(x/3) | y = x1/3 | ||
y = 8x2+10x+ln½x½ | y = 16x-arcsin2x | ||
y =xln(x2+ )-2x+ arctg | y = ln(x2-4x+13) | ||
y = e-x(2x2+9x+11) | y = | ||
y = x2(2lnx-1) | y = | ||
y = (1,7+1,4x-0,3x2) | y = |
ПРИМЕР ЗАДАНИЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1
1. Даны точки: А(4;2;5) В(0;7;1) С(0;2;7) D(1;5;0).а) построить пирамиду АВСD; б) VABCD-?; в) SDABC-?; г) cos(ABÙAC)?;
д) прADAC-?.
2. Решить систему алгебраических уравнений:
3. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус эллипс 16х2+25у2=400 и точку А(2;3). Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах.
4. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой .