Лабораторная работа №1. Тема: "Системы счисления

Тема: "Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую."

Цель работы: изучить способы переводы чисел из одной системы счисления в другую, получить навыки выполнения арифметических операций в разных системах счисления.

Краткие теоретические сведения.

Системой счисления называется совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Или, в общем случае, это специальный язык, алфавитом которого являются символы, называемыми цифрами, а синтаксисом - правила, позволяющие однозначно сформировать запись чисел.

Существует бесчисленное множество способов записи чисел цифровыми знаками. Однако любая система счисления, предназначенная для практического использования, должна обеспечивать:

- возможность представления любого числа в заданном диапазоне чисел;

- однозначность представления;

- краткость и простоту записи чисел;

- легкость овладения системой; а также простоту и удобство оперирования ею.

Обычно числа записываются или произносятся как некоторая последовательность условных знаков, называемых цифрами. Такую запись числа называют сокращенной. Например, число A кратко записывается так:

A = a_{n -1} a_{n -2}... a_i... a ₁ a ₀, a _-1 a _-2... a _{- m} . (1)

Отдельную позицию в изображении числа принято называть разрядом. Всего в числе A (m + n) разрядов. Число разрядов в записи числа называется разрядностью и совпадает с его длиной.

Все системы счисления разделяют на позиционные и непозиционные. Наиболее древними системами счисления являются непозиционные. Для этих систем значение одноимённых цифр, где бы они ни располагались в числе, будут одинаковыми.

Наиболее известными представителями непозиционных систем счисления являются иероглифические и алфавитные. Иероглифические ― это такие системы счисления, у которых каждая цифра представлена своим символом, значком или иероглифом. Наиболее известной из них является римская система счисления. Значение числа, записанного в римской системе счисления, определяется как сумма записанных подряд цифр, причем, если слева от цифры стоит меньшая, то значение последней принимается со знаком минус, например, IX=9₍₁₀₎; XI=11₍₁₀₎, то есть здесь существует отклонение от правила независимости значения цифры от положения в числе. В настоящее время римская система используется, в основном, для целей нумерации. Запись числа в алфавитных системах строится по такому же принципу.

К основным недостаткам непозиционных систем счисления можно отнести:

- отсутствие нуля;

- необходимость содержания бесконечного количества символов;

- сложность арифметических действий над числами.

Позиционные системы счисления.

Систему счисления называют позиционной, если значение цифры определяется её позицией в последовательности цифр, изображающих число. В качестве последовательности цифр системы счисления можно использовать набор 0, 1, …, p- 1. Совокупность всех цифр системы счисления называется её базой. Количество цифр равно основанию системы счисления p.

Значение цифры на любой i- й позиции равно произведению a_{i *} pⁱ,
где i – номер позиции в числе, p – основание системы счисления, pⁱ – вес цифры i -го разряда.

Основание системы счисления, с одной стороны, определяет количество различных цифр, допустимое для данной системы счисления, а с другой – число, показывающее, во сколько раз вес цифры данного разряда меньше веса цифры соседнего старшего разряда.

Для позиционных систем счисления значение числа можно представить полиномом вида

A = a_{n- 1} p^{n- 1} + a_{n- 2} p^{n- 2} +... + a ₁ p + a ₀ + a- ₁ p^{- 1} +... + a_-m p^-m

или A = . (2)

Представление числа в виде суммы значений его цифр (2.2) называется развернутой записью.

Обычно число записывается в сокращенном виде:

A = a_{n -1} a_{n -2}... a_i... a ₁ a ₀, a _-1 a _-2... a _{- m (p)},

а название системы определяет ее основание p: десятичная, двоичная, восьмеричная и т.д. Очевидно, что основанием системы счисления может быть любое число. Поэтому возможно бесчисленное множество позиционных систем счисления.

Наиболее простым примером позиционной системы счисления является десятичная система. Название “десятичная” объясняется тем, что в десятичной системе любое число выражается упорядоченной последовательностью десяти разных цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Десятичная система является позиционной, так как значение цифры в записи десятичного числа зависит от ее позиции и местоположения в числе. Например, в десятичном числе 74,9₍₁₀₎ цифра 7 выражает количество десятков, цифра 4 - количество единиц, а цифра 9 ― количество десятых долей единицы. При этом цифра 7 имеет наивысший вес и называется старшей цифрой числа, а цифра 9 ― наименьший вес и называется младшей цифрой этого же числа. Различие весов цифр в числе 74,9 станет очевидным, если это число записать в развернутом виде:

74,9₍₁₀₎ = 7·10¹ + 4·10⁰ + 9·10^-1,

в котором число 10 – основание системы счисления.

В дальнейшем, для простоты изложения будем использовать термин “система счисления”, имея в виду позиционные системы счисления.