Примеры расчета плит перекрытия

Пример 8. Свободно опертая по контуру плита перекрытия крупнопанельного здания (рис. 53).

Исходные данные. Размеры плиты в плане — 3580 ´ 6580 мм. Толщина 120 мм. Размеры опорных площадок: вдоль короткого пролета — 50мм; вдоль длинного пролета — 70 мм.

Расчетные пролеты плиты: l₁ = 3580 — 50 = 3530 мм; l₂ = 6580 — 70 = 6510 мм.

Соотношение расчетных пролетов l = l₂/l₁ = 6510/3530 = 1,844.

Плита из тяжелого бетона класса по прочности на сжатие В 15 кассетного изготовления. Расчетные сопротивления:

для предельных состоянии первой группы (при расчете на длительные нагрузки) R_b = 8,5 × 0,9 × 0,85 = 6,5 МПа; R_bt = 0,75 × 0,9 × 0,85 = 0,57 МПа;

для предельных состояний второй группы R_b,ser = 11 МПа; R_bt,ser = 1,15 МПа.

Начальный модуль упругости бетона при сжатии и растяжении для изделий кассетного изготовления E_b = 20,5 × 10³ × 0,85 = 17,4 ´ 10³ МПа.

Нагрузки на 1 м² плиты без учета собственного веса: расчетная — 4500 Н/м² (~ 450 кгс/м²); нормативная — 3600 Н/м² (~ 360 кгс/м²); длительная — 2600 Н/м² (~ 260 кгс/м²).

Масса 1 м² плиты 0,12 × 2500 = 300 кг/м².

Читайте также: Деформации бетона при многократно повторяющемся действии нагрузки...

Суммарные нагрузки на плиту с учетом коэффициента надежности по назначению, g_п = 0,95:

расчетная — q = 0,95 (300× 9,81 × 1,1 + 4500) = 7350 Н/м²;

нормативная — q_n = 0,95(300 × 9,81 + 3600) = 6216 Н/м²;

длительная — q_l = 0,95(300 × 9,81 + 2600) = 5266 Н/м².

Максимальное значение изгибающего момента в плите при опирании по балочной схеме по двум длинным сторонам M_o = ql²₁/8 = 7350 × 3,53² × 6,51/8 = 74530 Н/м = 74,53 × 10⁶ Н × мм.

Расчет прочности плиты при действии эксплуатационных нагрузок. Примем армирование плиты сварной сеткой, в которой стержни вдоль пролета l₁ через один обрываются согласно эпюре моментов. Предварительно назначим арматуру вдоль пролета l₁ из стали класса А-III, а вдоль пролета l₂ — из стали класса Вр-I. При таком армировании по п. 6.31 коэффициент g_s = 0,9. Примем, что h₀₁ = 100 мм, h₀₂ = 92 мм. Тогда коэффициент

По рис. 46 при l₁/h = 3530/120 = 29,4 и l = 1,844 коэффициент g_р = 0,90. Изгибающие моменты вдоль пролетов l₁ и l₂, соответствующие оптимальной схеме армирования: Н×мм; Н×мм. Определим требуемое армирование вдоль пролета l₁: N_s1 = R_bh₀₁x₁ = 6,5 × 100 × 0,158 = 103 Н/мм.

По табл. 10 принимаем арматуру диаметром 10 мм из стали класса А-III с шагом 300 мм (N_s1 = 98 Н/мм; a_s1 = 261 мм²/м).

Коэффициент армирования m₁ = a_s1/(h₀₁ × 10³) = 261/(100 × 10³) = 2,6l × 10^-3 = 0,261 % > m_min = 0,05 %.

Требуемое армирование вдоль пролета l₂: N_s2 = R_bh₀₂x₂ = 6,5 × 92 × 0,014 = 8,4 Н/мм.

По табл. 10 принимаем арматуру диаметром 3 мм из стали класса Вр-1 с шагом 300 мм (N_s1 = 8,86 Н/мм, a_s2 = 23 мм²/м).

Коэффициент армирования Проверяем условие 0,5(m₁ + m₂) = 0,5(0,261 + 0,025)10^-2 = 0,141 % > m_min = 0,05 %.

Расчет прочности платы при действии монтажных нагрузок. Монтажный вес плиты с учетом коэффициента динамичности 1,4 G = 300 × 9,81 × 1,4 × 3,58 × 6,58 = 97 × 10³ Н.

Примем схему подъема за шесть петель, расположенных в середине коротких сторон и в третях длинных сторон.

По формуле (254) с учетом приведенных в табл. 16 значений (при l = 1,844) определим изгибающие моменты, приходящиеся на единицу длины сечения плиты.

Изгибающие моменты в точке С (в середине плиты):

в поперечном направлении b = 0,05; M_c = 0,05 × 97 × 10³ = 4,8 ´ 10³ Н×мм/мм;

в продольном направлении b = 0,0283; M_с = 0,0283 × 97 × 10³ = 2,75 × 10³ Н×мм/мм.

При расчете на монтажные нагрузки учтем, что возможен подъем плиты при 70 % прочности плиты, тогда расчетное сопротивление сжатию (с учетом коэффициента 1,1, учитывающего кратковременность действия динамических нагрузок) R_b = 8,5 × 0,85 × l,l × 0,7 = 6,0 МПа.

Изгибающие моменты, воспринимаемые плитой при принятом армировании (при расчете на монтажные нагрузки):

в поперечном направлении (M_s1 = 98 Н/мм; h₀₁ = 100 мм). m₁ = N_s1(h₀₁ - N_s1/2R_b) = 98(100 - 98/2 × 6) = 9000 Н > 4,8 × 10³ Н;

в продольном направлении (N_s2 = 8,86 Н/мм; h₀₂ = 92 мм) m_c2 = N_s2(h₀₂ - N_s2/2R_b = 8,86(92 - 8,86/2 × 6) = 808 Н < m_c = 2,75 × 103 Н.

Необходимо увеличить армирование вдоль пролета l₂. Определим требуемое по условиям прочности плиты при монтаже армирование в продольном направлении: N_s2 = 6 × 92 × 0,056 = 30,7 Н/мм.

Принимаем арматуру из проволоки класса Вр-1 диаметром 4 мм, с шагом 150 мм (N_s2 = 31,5 Н/мм; a_s2 = 84 мм²/м).

В связи с тем, что увеличена арматура вдоль пролета l₂, скорректируем армирование вдоль пролета l₁. При эксплуатационных нагрузках принятое армирование обеспечивает восприятие изгибающего момента вдоль пролета l₂, равного M₂ = M_s2l₁(h₀₂ - 0,5N_s2/R_b) = 31,5 × 3530 (92 × 0,5 × 31,5/6) = 9,9 × 10⁶ Н×мм.

Изгибающий момент M₁, по которому должна быть определена арматура вдоль пролета l₁, определим из условия откуда (при q = 7350 H/м² = 7,35 × 10^-3 Н/мм²) Н×мм; N_s1 = 6,5 × 100 × 0,128 = 83,2 Н/мм.

Принимаем арматуру из стержней диаметром 8 мм из стали класса А-III с шагом 200 мм (N_s = 89 Н/мм; а_s1 = 251 мм²/м).

Коэффициент армирования: m₁ = 251/(100 × 10³) = 0,251 × 10^-2 = 0,251 % > m_min = 0,05 %; m₂ = 84/(92 × 10³) = 0,09 × 10^-2 = 0,09 %;

m = 0,5(m₁ + m₂) = 0,5(0,251 + 0,09)10^-2 = 0,170 % > m_min = 0,05 %.

Принятое армирование удовлетворяет условиям прочности при эксплуатационных и монтажных нагрузках и требованиям к минимальному проценту армирования.

Расчет плиты по образованию трещин. Нагрузка, по которой должно быть проверено образование трещин, q_n = 6216 Н/м² = 6,2 ´ 10^-3 Н/мм².

Изгибающий момент, соответствующий образованию трещин при изгибе вдоль пролета l₁, определяем приближенно по формуле M_crc = l₂h₂R_bt,ser/3,5 = 6510 × 1202 × 1,15/3,5 = 30,8 × 106 Н×мм.

По графику на рис. 48 при l = 1,844 коэффициент а₁ = 0,095.

Нагрузка, при которой в пролете плиты образуются трещины,

Н/мм² < q_l = 5,3 × 10^-3 < q_n = 6,2 × 10^-3 Н/мм².

В плите образуются трещины.

Расчет прогибов плиты. Определим предельную нагрузку q_sеr при характеристиках материалов для предельных состояний второй группы: R_s,ser1 = 390 МПа, R_s,ser2 = 405 МПа, R_b,ser = 11 МПа; R_bf,ser = 1,15 МПа; E_s1 = 20 × 10⁴ МПа, N_s1 = 251 × 10^-3 × 390 = 97,9 Н/мм; N_s2 = 84 × 10^-3 × 405 = 34 Н/мм;

Н×мм;

Н×мм;

Н/мм².

Приведенный коэффициент армирования m = 0,17 × 10^-2.

Относительная высота сжатой зоны бетона x = 0,l + 0,5mR_s,ser,l/l/R_b,ser = 0,l + 0,5 × 0,17 × 10^-2 × 390/11 = 0,13.

При влажности воздуха 40 % и более коэффициент v = 0,15.

Предельный прогиб плиты,. соответствующий нагрузке q_l

 

Коэффициенты h₁ = h₀₁/(h₀₁ - 0,7) = 100/(100 — 7) = 1,075; h₀₂ =1 + 0,2 (l — 1) = 1 + 0,2(1,844 — 1) = 1,17.

По графику на рис. 50 b = 0,108.

Прогиб при нагрузке q_crc = 4,2 × 10^-3 Н/мм²; f_crc = (l⁴₁b₁q_crc)/(j_b1E_bh³) = (5330⁴ × 0,108 × 4,2 × 10^-3)/(0,85 × 17,4 × 10³ × 120³) = 2,79 мм; f_crcj_b2 = 2,79 × 2 = 5,6 мм.

Прогиб плиты определяем по формуле f = j_b2f_crc + (f_ser - j_b2f_crc) (q₁ - q_crc)/(q_ser - q_crc) = 5,6 + (82 - 5,6) (5,27 - 4,2)/(8,81 — 4,2) = 23,3 мм > l/200 = 3530/200 = 17,6 мм.

Прогиб превышает допустимую величину. Необходимо увеличить армирование плиты.

Увеличим вдвое арматуру вдоль пролета l₁, тогда M₁ = 2,6 × 9 ´ 10⁶ = 121,8 × 10⁶ Н×мм;

 

m = 0,5(2 × 0,251 + 0,09) = 0,295 %;

x = 0,1 + 0,5 × 0,295 × 10^-2 × 390/11 = 0,152;

 

 

Требуемый прогиб обеспечен.

Окончательно примем: вдоль пролета l₁ — арматура диаметром 8 мм с шагом 100 мм из стали класса A-III; вдоль пролета l₂ — арматура диаметром 4 мм с шагом 150 мм из стали класса Вр-I.

 

Пример 9. Опертая по трем сторонам многопустотная плита крупнопанельного здания (рис. 54).

 

 

Рис. 54. Схема к примеру расчета сборной многопустотной плиты, опертой по трем сторонам

Требуется определить расчетное армирование, проверить прочность, прогибы и трещиностойкость многопустотной плиты, опертой по двум коротким и одной длинной сторонам на стены крупнопанельного здания. Плита имеет комбинированное армирование: предварительно напряженной арматурой вдоль длинной стороны и сварной сеткой в двух направлениях.

Исходные данные. Размеры плиты 5980 ´ 3580 мм, толщина 220 мм. Диаметр пустот d = l40 мм, шаг пустот s_vac = 200 мм, количество пустот n = 17. Толщина ребер: крайнего — b_wo = 90 мм, промежуточного — b_w = 60 мм. Толщина (высота) верхней и нижней полок h¢_f = h_f =40 мм.

Плита после установки на нее перегородок защемляется на опорах в платформенных стыках стеновыми панелями. Глубина опирания плиты: по коротким сторонам 80 мм, по длинной стороне 100 мм.

Расчетные пролети плиты: l₁ = 5980 — 2 × 0,5 × 80 = 5900 мм; l₂ = 3580 — 0,5 × 100 = 3530 мм; l = l₂/l₁ = 0,6.

Бетон плиты тяжелый класса по прочности на сжатие В20. Сопротивления бетона R_b,ser = 15 МПа, R_bt,ser = 1,4 МПа, R_b = 11,5 × 0,9 = 10,3 МПа, R_bt = 0,9 × 0,9 = 0,81 МПа. Начальный модуль упругости бетона E_b = 24000 МПа.

Напрягаемая арматура из стали класса Ат-V диаметром 10 — 12 мм, для которой R_s,ser = 785 МПа, R_sp = 680 МПа, Е_sp = 190 000 МПа, цена 1 т — 181 руб.

Ненапрягаемая арматура из проволоки класса Вр-I диаметром 5мм, для которой R_s,ser = 395 МПа, R_s =360 МПа, Е_s = 170000 МПа, цена 1 т — 202 руб.

Защитные слон: для напрягаемой арматуры — 25 мм, для ненапрягаемой арматуры — 15 мм.

Нагрузка на плиту равномерно распределенная.

Нормативная нагрузка на 1 м плиты: от собственного веса плиты 4 кН; от веса пола 0,1 кН, от веса перегородок 1,3 кН, временная нагрузка 1,5 кН, в том числе длительная 0,3 кН.

Расчетные нагрузки с учетом коэффициента надежности по назначению g_n = 0,95:

при расчете прочности

q = (1,1×4 + 1,2×0,1 + 1,1×1,3 + 1,3×1,5) 0,95 = 7,5 кН/м² = 7,5×10^-3 Н/мм²;

при проверке трещиностойкости

q_1n = (4 + l,3) 0,95 = 5,0 кН/м² = 5×10^-3 Н/мм²;

q_2n = (0,1 + 1,5) 0,95 = 1,52 кН/м² = 1,52×10^-3 Н/мм²;

при проверке прогибов и раскрытия трещин

q_1l = q_1n = 5 кH; q_2l = (0,1 + 0,3) 0,95 = 0,4 кH/м² = 0,4×10^-3 Н/мм².

Проверка прочности плиты вдоль пустот. Моменты инерции бетонного сечения плиты:

при изгибе вдоль пустот

I = l₂h³/12 - npd⁴/64 = 3530×220³/12 - 3,14×17×140⁴/64 = 2,79/10⁹ мм;

при кручении

 

Вычисляем безразмерный параметр

 

Приведенные толщины полок h_f,red = h¢_f,red = h₁ + 0,0569d = 40 + 0,0569×140 = 48 мм.

Прочность плиты по сечению вдоль средней по ее ширине пустоты без армирования проверяем по условию

 

Так как q = 7,5 кН/м², то прочность без армирования не обеспечена. Необходимо предусмотреть установку арматуры.

Определение требуемой по условиям прочности арматуры. При расчете прочности плита считается свободно опертой по трем сторонам (двум коротким и одной длинной). Частичное защемление плиты в платформенных стыках не учитываем в запас прочности.

Расчетные высоты сечения соответственно вдоль пролетов l₁, l₂: h₀₁ = 220 - 25 - 0,5 × 10 = 190 мм; h₀₂ = 220 - 15 - 0,5 × 5 = 208 мм. Вдоль пролета l₁ плита имеет комбинированное армирование. Примем предварительно, что площади напряженной и ненапряженной арматуры вдоль пролета имеют соотношение 3:1. Тогда для комбинированного армирования приведенное сопротивление арматуры R_s1 = (3R_sр + R_s)/4 = (3 × 680 + 360)/4 = 600 МПа, приведенная цена 1 т C_s1 = (3 × 181 + 202)/4 = 186 руб.

Для арматуры вдоль пролета l₂ R_s2 = 360 МПа, C_s2 = 202 руб. Определяем коэффициент g_s = (R_s2C_s1)/(R_s1C_s2) = (369 × 186)/(600 × 200) = 0,56.

Изгибающий момент от расчетной нагрузки в среднем сечении при опирании плиты по балочной схеме по двум коротким сторонам М₀ = ql₁²l₂/8 = 7,5 × 5,9² × 3,530/8 = 115,2 кН×м = 115,2×10⁶ Н×мм.

Проверим условие l² > 0,25g_sh₀₂/h₀₁. Имеем l² = 0,6² = 0,36 > 0,25 × 0,56 × 202/190 = 0,15.

Условие выполнено.

Определим оптимальное по условию прочности армирование плиты: v_opt = 0,5g_sh₀₂/(lh₀₁) = 0,5 × 0,52 × 202/(0,6 × 190) = 0,495;

М₂ = М₀v²_opt/(3l) = 115,2 × 0,495²/(3 × 0,6) = 15,7 × 10⁶ Н×мм.

Определим требуемое армирование плиты. Высота сжатой зоны бетона

 

Так как х₁ = 21,8 мм < h¢_f = 40 мм и х'₂ = 1,28 мм < h¢_f = 40 мм, то сжатая зона проходит в пределах толщины полки. Поэтому требуемую площадь арматуры определяем как для прямоугольного сечения по формулам: A_s1 = x₁l₂R_b/R_s1 = 12,5 × 3530 × 10,3/600 = 757 мм²; А_s2 = x₂l₁R_b/R_s2 = 1,28 × 5900 × 10,3/360 = 216 мм².

Ранее было принято, что площадь предварительно напряженной арматуры вдоль пролета l₁ составляет 3/4 площади поперечного сечения всей арматуры в этом направлении. Тогда требуемая площадь предварительно напряженной арматуры А_р = 0,75 × 757 = 568 мм².

Принимаем 8 стержней диаметром 10 мм из стали класса Ат-V, площадь сечения A_p1 = 628 мм².

Требуемая площадь ненапряженной арматуры вдоль пролета l₁ А_s1 = A^red_s1 — A_р1 = 757 - 628 = 129 мм².

Принимаем 7 стержней диаметром 5 мм из проволоки класса Вр-1, площадь сечения A_s1 = 137 мм² (шаг 400 мм).

Вдоль пролета l₁ принимаем 16 стержней диаметром 5 мм из проволоки класса Вр-1, площадь сечения 313 мм (шаг 400 мм).

Проверка прочности ребер на срез. Расстояние по горизонтали от оси опоры плиты до центра первой пустоты S_o = (b_wo + d)/2 = (90 + 140)/2 = 115 мм.

Прочность крайнего опорного ребра проверяем по формуле

 

Так как q = 7,5 кН/м², то условие прочности для крайнего ребра выполнено.

Прочность ближайшего к опоре промежуточного ребра проверяем по формуле

 

Так как q = 7,5 кН/м², то условие прочности для первого промежуточного ребра выполнено.

Расчет по образованию трещин. Нормальные трещины при изгибе плиты не возникают, если выполняется условие М £ М_сrс, где М — изгибающий момент от нормативной нагрузки в сечении, для которого проверяется возможность образования трещин; M_сrc — момент, воспринимаемый сечением при образовании трещин.

Изгибающий момент М определим с учетом двух стадий работы плиты до и после защемления стенами.

По рис. 49 a₁ = 0,073, a₂ = 0,033, a₃ = 0,08. Тогда изгибающие моменты в среднем (М_п) и опорном (М^о_п) сечениях от нормативной нагрузки равны: М_п = (a₁q₁n + a₂q₂n)l₂l²₁ = 0,073 × 5 × 10^-3 + 0,033 × 1,52 ´ 10^-3)3530 × 5900² = 51 × 10⁶ Н×мм; М^о_п = 1,1a₃q₂n l₂l²₁ = 1,1 × 0,08 × 1,52 ´ 10^-3 × 3530 × 5900² = 16,4 × 10⁶ Н×мм².

Проверим возможность образования трещин в середине пролета l₁. Вдоль этого пролета плита имеет предварительно напряженное армирование. Поэтому момент М_сгс определяем по формуле М_сгс = R_bt,serW_pl + P(e_op + r), где W_pl — момент сопротивления приведенного сечения для крайнего растянутого волокна с учетом неупругих деформаций растянутого бетона; Р — усилие предварительного напряжения за минусом всех потерь; e_op — эксцентриситет усилия предварительного обжатия Р относительно центра тяжести приведенного сечения; r — расстояние от центра тяжести приведенного сечения до ядровой точки, наиболее удаленной от проверяемой растянутой грани сечения.

Для проверки трещиностойкости плиты при ее изгибе вдоль пролета l₁ примем расчетное двутавровое сечение, в котором круглые пустоты заменены эквивалентными по площади квадратными со стороной а = 124 мм.

Расчетное сечение имеет следующие геометрические размеры: b_f = b¢_f = l₂ = 3530 мм, b = l₂ - na = 3530 — 17 × 124 = 1422 мм; h_f = h¢_f = h_red = 48 мм. Вычислим параметры: y₁ = (b_f - b)h_f/(bh) = (3530 — 1422)48/(1422 × 220) = 0,323; y¢₁ = 2y₁ = 2 × 0,323 = 0,647.

Так как коэффициент армирования плиты вдоль пролета l₁ m = (628 + 156)/(220 × 3530) = 0,001 < 0,01, то момент сопротивления W_pl определяем без учета влияния арматуры по формуле W_pl = (0,292 + 0,75y₁ + 0,057y¢₁) = (0,292 + 0,75 × 0,323 + 0,075 × 0,647) 122 × 220² = 4,01 × 10⁷ мм³.

Для определения усилия предварительного натяжения Р необходимо задать начальное значение напряжения арматуры s_sp и вычислить потери натяжения. Примем, что натяжение арматуры осуществляется электротермическим способом на упоры, при котором рекомендуется назначить напряжение s_sp из условия s_sp = R_s,ser — р, где R_s,ser = 785 МПа; р = 30 + 360/l = 30 + 360/6 = 90 МПа (l = 6м — длина натягиваемого стержня, м). При максимально допустимом предварительном напряжении арматуры s_sp = 785 — 90 = 685 МПа.

Определим первые потери предварительного напряжения: потери от релаксации s₁ = 0,03s_sp = 0,03 × 695 = 21 MПa; потери от температурного перепада Dt между температурами нагреваемого стержня и упоров; величины Dt примем по СНиП 2.03.01—84, равными 65 °С, тогда s₂ = 1,25 Dt = 1,25 × 65 = 81 МПа;

потери s₃ = s₄ = s5 = 0;

потери от быстронатекающей ползучести s₆ определяется в зависимости от значения напряжений в бетоне s_bp на уровне центра тяжести напряженной арматуры с учетом потерь s₁... s₅. Для определения напряжений s_bp вычислим следующие величины:

усилие предварительного напряжения за минусом потерь s₁... s₅

 

площадь приведенного сечения А_red = 3530 × 202 — 17 × 124² = 5,19 ´ 10⁵ мм²;

эксцентриситет усилия в предварительно напряженной арматуре относительно центра тяжести приведенного сечения е_ор = у_red - a_p = 110 — 30 = 80 мм;

изгибающий момент от собственного веса плиты в ее среднем сечении при изгибе по балочной схеме вдоль пролета l₁ Mg = gl₂l²₁/8 = 4 × 10^-3 × 3530 × 5900² = 6,14-10⁷ Н×мм (g = 4 кН/м² = 4 × 10^-3 Н/мм² — распределенная нагрузка от собственного веса плиты).

Тогда s_bp = P₁/A_red + (P₁e_op - Mg)e_op/I = (3,725 × 10⁵/5,15 × 10⁵ + (3,725 × 10⁵ × 80 - 6,14 × 10⁷) × 80/2,79 × 10^o = - 0,182 МПа.

Знак «минус» означает, что напряжения растягивающие. В этом случае потери напряжения s₆ = 0.

Первые потери предварительного напряжения

Определим теперь вторые потери предварительного напряжения:

потери от релаксации напряженной арматуры при натяжении на упоры s_i = 0;

потери от усадки s_s = 40 MПа;

потери от ползучести бетона не учитываем, так как напряжения s_bр растягивающие.

Тогда вторые потери

Суммарные потери s = 102 + 40 = 142 МПа > 100 МПа. Поэтому найденное значение потерь не увеличиваем.

С учетом всех потерь усилие обжатия

 

Расстояние r определяем как для упругого тела по формуле r = I (y_redA_red) = 2,79 × 10⁹/(110 × 5,15 × 10⁵ = 49,2 мм.

С учетом найденных величин M_crc = l,4 × 4,01 × 10⁷ + 3,47 × 10⁵(80 + 49,2) = 101 × 10⁶ H×мм > М_n = 51 × 10⁶ Н×мм. Трещины в пролете не образуются.

Проверим теперь возможность образования трещин на опоре при защемлении плиты стенами. Так как изгибающий момент M^o_crc = R_bt,serI/y_red = 1,4 × 2,79 × 109/110 = 35,5 × 10⁶ Н×мм > M^o_n = 16,4 ´ 10⁶ Н×мм, то трещины на опоре не образуются.

При проверке прочности плиты на изгиб вдоль пролета l₂ было установлено, что возможно образование трещин вдоль пустот. При проверке трещиностойкости плиты необходимо вместо расчетной принять нормативную нагрузку на плиту q_n, а вместо расчетного сопротивления бетона растяжению R_bt ¾ величину R_bt,ser.

Условно образования трещин

 

Так как q_n = q_n1 + q_n2 = (5 + 1,52)10^-3 = 0,00652 Н/мм², то при проверке по второй группе предельных состояний трещины вдоль пустот не образуются.

Проверка прогибов плиты. Так как в плите при действии нормативных нагрузок трещины не образуются, то прогибы определяем как для упругого тела. В первом приближении прогибы определим как для плиты, свободно опертой по двум коротким сторонам по формуле

 

Прогиб, подсчитанный для балочной схемы опирания, меньше предельно допустимого. Поэтому нет необходимости уточнять значение прогиба плиты с учетом опирания по трем сторонам и защемления на опорах.

Пример 10. Монолитная плита перекрытия сплошного сечения, защемленная по трем сторонам (рис. 55).

 

Рис. 55. Схемы к примеру расчета монолитной плиты перекрытия

Исходные данные. Плита толщиной 13 см в конструктивной ячейке 6 ´ 6 м сборно-монолитного здания с внутренними стенами из монолитного бетона и навесными фасадными панелями. Плита перекрытия формуется в едином цикле с внутренними стенами. Внутренние стены и плиту перекрытия изготавливают из тяжелого бетона класса по прочности В15.

Расчетная схема плиты: плита защемлена по трем сторонам и не имеет опоры по четвертой стороне.

Расчетные пролеты плиты: l₁ = 6000 — 160 = 5840 мм; l₂ = 6000 - 80 = 5920 мм.

Соотношение сторон плиты l = l₂/l₁ = 5920/5840» 1 < 1,5 — плита работает на изгиб из плоскости в двух направлениях.

Рабочие высоты сечения плиты: h₀₁ = 160 - 20 = 140 мм; h₀₂ = 160 - 25 = 135 мм.

Унифицированные нагрузки на плиту:

без учета собственного веса р = 4,5 × 10^-3 Н/мм²; р_п = 3,6 × 10^-3; p_l = 2,4 × 10^-3 Н/мм²;

с учетом собственного веса g = 0,16 × 2500 × 9,8 = 4 × 10³ Н/м² = 4 × 10^-3 Н/мм².

Расчетные нагрузки с учетом коэффициента надежности по назначению y_n = 0,95:

q = 0,95(p + l,lg) = 0,95(4,5^-3 + 1,1 × 4 × 10^-3) = 8,45 × 10^-3 Н/мм²;

q_n = 0,95(p_n + g) = 0,95(3,6 × 10^-3 + 4 × 10^-3) = 7,22 × 10^-3 Н/мм²;

q_l = 0,95(p_l + g) = 0,95(2,4 × 10^-3 + 4 × 10^-3) = 6,l × 10^-3 Н/мм².

Расчетные характеристики бетона и арматуры.

Для тяжелого бетона класса В15 естественного твердения: R_b = 8,5 × 0,9 = 7,65 МПа; R_bt = 0,75 × 0,9 = 0,675 МПа;

при расчете прогибов плиты R_bn = R_b,ser = 11 МПа; R_bt,n = R_bt,ser = 1,15 МПа; E_b = 23 × 10³ МПа.

Характеристика арматуры:

стержни периодического профиля класса А-III диаметром 6 — 8 мм — R_s = 355 МПа; R_sn = R_s,ser = 390 МПа; E_s = 20 × 104 МПа;

проволочная арматура периодического профиля класса Вр-1, диаметром 4 мм — R_s = 370 МПа; R_sn = R_s,ser = 405 МПа; Е_s = 17 ´ 104 MПа;

диаметром 5мм — R_s = 360 МПа; R_sn = R_s,ser = 395 МПа; E_s = 17 × 104 МПа.

Нагрузка образования трещин в опорных и пролетном сечениях плиты

По табл. 13 при l = 1: а⁰₁ = 3,3, а⁰₂ = 4,2, а⁰₃ = 4,8;

q_crc,1 = 3,3(160² × 1,15)/5840² = 2,85 × 10^-3 Н/мм² < q_n;

q_crc21 = 3,3(160² × 1,15)/5840² = 3,62 × 10^-3 Н/мм² < q_n;

q_crc,3 = 3,3(160² × 1,15)/5840² = 4,14 × 10^-3 Н/мм² < q_n.

В плите в опорных и пролетном сечении образуются трещины, тогда при назначении арматуры должны удовлетворяться условия: в опорных сечениях а_si ³ a_s,crc, в пролетном сечении 0,5(a_s1 + a_s2) ³ a_s,crc.

Момент, воспринимаемый сечением плиты при образовании трещин на длину b = 1 м,

m_crc = (bh²R_bt,ser)/3,5 = (1000 × 160² × 1,15)/3,5 = 8,41 × 10⁶ Н×мм.

Требуемое сечение арматуры для восприятия m_crc:

A_o = m_crc/(R_bbh²₀) = (8,41 × 10⁶)/(7,65 × 1000 × 140²) = 0,056; h = 0,97;

a_s,crc = m_crc/(R_shh_o) = (8,41 × 10⁶)/(355 × 0,97 × 140) = 173 мм².

Расчет несущей способности плиты. При одностороннем сопряжении перекрытия с несущей стеной опорная сетка анкеруется поперечным стержнем, заведенным в толщу стены на глубину l_an = 120 мм, тогда:

поверхность выкалывания на длине b = 1000 мм

s = 2l_an b = 2 × 120 × 1000 = 2,4 × 10⁵ мм²;

растягивающее усилие, воспринимаемое анкером,

n_an = 0,5sR_bt = 0,5 × 2,4 × 10⁵ × 0,675 = 0,81 × 10⁵ Н.

Максимальное усилие, воспринимаемое анкером,

m_an = 0,9n_anh_o = 0,9 × 0,81 × 10⁵ × 140 = 10,2 × 10⁶ Н×мм;

требуемое армирование для восприятия момента m_an

А_о = (10,2 × 10⁶)/(7,65 × 1000 × 140²) = 0,068; h = 0,965;

a_s,an = (10,2 × 10⁶)/(355 × 0,965 × 140) = 213 мм².

Плита работает с трещинами по опорному сечению. Площадь арматуры подбираем из условий

m¢₁ £ m_an (a¢_s,1 £ a_s,an);

m₁ ³ m_crc(a¢_s,1 ³ a_s,crc).

Принимаем проволоку диаметром 10 мм с шагом 100 мм из стали класса Вр-I (a¢_s,1 = 196 мм²).

Момент, воспринимаемый сечением плиты на данной опоре, m¢₁ = r_sa¢_s,1 (h_o - 0,5r_sa¢_s,1/R_bb) = 360 × 196(140 — 0,5 × 360 × 196)/(7,65 ´ 1000) = 9,55 × 10⁶ Н×мм.

Поперечный анкерующий стержень назначается в зависимости от усилия, приходящегося на один продольный стержень опорной сетки,

 

Анкерующий стержень принимаем диаметром 8 мм из стали класса А-III.

Несущую способность плиты определяем по формуле

 

По табл. 11 задаем коэффициенты распределения изгибающих моментов

y₁ = m₂/m₁ = 0,15; y_I = m_I/m₁ = 1,5; y_II = m_II/y₁m₁ = 2;

8,45 × 10^-3 = [24(2m₁ × 5,92 + 0,15m₁ × 5,84 + l,5m₁ × 5,92 + 9,55 × 10⁶ × 5,92 + 0,3m₁ × 5,84]/5840²(6 × 5920 × 5840),

откуда

m₁ = 12,84 × 10⁶ Н×мм, тогда требуемое армирование плиты

A_o = (12,84 × 10⁶)/(7,65 × 1000 × 140)² = 0,086; h = 0,955;

a_s,1 = (12,84 × 10⁶)/(355 × 0,985 × 140) = 270 мм².

Принятым соотношениям y_i, соответствующих коэффициентам распределения арматуры: a_s,2 = 270 × 0,15 = 40,5 мм², a_s,1 = 270 × 1,5 = 405 мм²; a_s,1I = 270 × 0,15 × 2 = 81 мм².

Армирование плиты в пролете принимаем вдоль l₁ из стали диаметром 6 мм, класса А-III с шагом 175 мм (a_s,1 = 287 мм²); вдоль l₂ из стали диаметром 5,5 мм, класса Вр-1 с шагом 200 мм (a_s,2 = 63 мм²). Условие 0,5(a_s,1 + a_s,2) ³ a_s,crc выполняется;

на опорах a_s,1 = 402 мм², a¢_s,I = 196 мм²,

условие a_s,i ³ a_s,crc выполняется.

Проверка несущей способности плиты при принятом армировании:

 

m₂ = 13,56 × 0,15 = 2,03 × 10⁶ Н×мм;

 

m¢_I = 9,55 × 10⁶ Н×мм; m_II = 2,03 × 2 = 4,06 × 10⁶ Н×мм;

 

Прочность плиты обеспечена

Расчет по раскрытию трещин нормальных к продольной оси производим по формуле

 

1. В опорном сечении

q_crc = 2,85 × 10^-3 Н/мм² < q_l = 6,1 × 10^-3 Н/мм²;

a¢_s,1 = 196 мм² (Вр-I)

Относительная высота сжатой зоны при образовании трещин

 

Напряжения в арматуре при действии нагрузки, соответствующей моменту образования трещин,

s_s,ser = m_crc/[(1 - 0,5x)h_oa¢_s,1] = 8,41 × 10⁶/[(1 - 0,5 × 0,125)140 × 196] = 327 МПа.

Предельная несущая способность плиты

q_ser = qR_s,ser/R_b,ser = 8,6 × 10^-3 × 390/355 = 9,45 × 10^-3 Н/мм².

Напряжение в стержнях арматуры

s_s = s_s,ser = (R_s,ser - s_s,ser)(q_l - q_crc)/(q_ser - q_crc) = 327 + (395 - 327(6,1 - 2,85)10^-3 /(9,45 - 2,85)10^-3 = 360 МПа, тогда

 

где d = 1 — для изгибаемых элементов; j_l = l,6 — 15m = 1,6 — 15 ´ 0,0014 = 1,58 — коэффициент, учитывающий продолжительное действие нагрузки.

h = l,2 — при проволочной арматуре периодического профиля. Корректируем величину раскрытия трещины с учетом работы растянутого бетона над трещинами.

Момент, при котором растянутый бетон над трещинами практически выключается из работы, m_o = m_crc + ybh²R_bt,ser = 8,41 × 10⁶ + 0,13 × 1000 × 160² × 1,15 = 12,24 × 10⁶ Н×мм²; y = (15mа)/h = (15 × 0,0014 ´ 7,39)/1,2 = 0,13; а = E_s/E^b = 17 × 10⁴/23 × 10³ = 7,39.

Момент, действующий в сечении плиты от нагрузки q_l,

т_l = m_crc + (m_ser - m_crc) (q_l - q_crc)/(q_ser - q_crc) =

 

где m_ser = m¢₁R_s,ser/R_s = 9,55 × 10⁶ × 395/360 = 10,48 × 10⁶ Н×мм.

Коэффициент, учитывающий уровень нагружения плиты,

 

Коэффициент, учитывающий длительность действия нагрузки,

j_l1 = 1,8m_crc/m_l = 1,8 × 8,41 × 10⁶/9,43 × 10⁶ = 1,6.

Коэффициент, учитывающий работу растянутого бетона над трещинами,

j_b = j_f1j_l1 = 0,388 × 1,6 = 0,62, тогда величина раскрытия трещины a_сгс = 0,46 × 0,62 = 0,285 мм < a_сгс,2 = 0,3 мм.

Определение ширины раскрытия трещины в остальных опорных сечениях производится аналогично приведенному расчету.

2. В пролетном сечении:

q_crc = 4,14 × 10^-3 Н/мм² < q_l = 6,1 × 10^-3 Н/мм²;

арматура диаметром 8мм из стали класса А-III с шагом 175 мм a_s,1 = 287 мм2, a_s,2 = 63 мм2;

 

Определяем величины:

h_o = 0,5(h₀₁ + h₀₂) = 0,5(140 + 135) = 137,5 мм;

a_s = mbh_o = 0,00126 × 1000 × 137,5 = 173,3 мм²;

 

 

 

Определяем

x = 0,1 + 0,5 × 0,00126 × 390/11 = 0,122;

 

 

j1 = 1,6 - 15 × 0,00126 = 1,58; h = 1 ¾ при стержневой арматуре периодического профиля, тогда

Корректируем величину раскрытия трещины с учетом работы растянутого бетона над трещинами

m_o = 8,41 × 10⁶ + 0,16 × 1000 × 160² × 1,15 = 13,12 × 10⁶ Н×мм;

y = 15 × 0,00126 × 8,45/1 = 0,16; а = 19,44 × 10⁴/23 × 10³ = 8,45;

 

 

 

 

тогда a_сrc = 0,39 × 0,183 = 0,071 мм < 0,3 мм.

Прогиб плиты определяется в середине пролета свободной стороны. При q_l = 6,1 × 10^-3 Н/мм² > q_crc = 4,14 × 10^-3 Н/мм²;

f = f_crc + (f_ser — f_crc) (q_l — q_crc)/(q_ser — q_crc).

Прогиб плиты перед моментом образования трещин в пролете

 

где j_b2 = 2 — для учета влияния длительной ползучести бетона, b° = 0,34 (см. табл. 13).

Прогибы плиты в предельном состоянии определяем как для плиты, защемленной по контуру с соотношением сторон l₁: 2l₂, l¢ = 2l₂/l₁ = (2 × 5920)/5840» 2,

 

где q — коэффициент, учитывающий степень защемления плиты в опорных сечениях, определяется при y_II £ y_I:

y₁ = m_I/m₁ = (18,65 × 10⁶)/(13,56 × 10⁶) = 1,375;

y¢_I = m¢_I/m_I = (9,55 × 10⁶)/(13,56 × 10⁶) = 0,7.

Из условия y_II + y¢_II £ y_I + y¢_I принимаем

y_II + y¢_II = y_I + y¢_I = 1,37 + 0,7, тогда

q = 1/(1 + 0,25åy_i) = 1/[1 + 0,25(13,75 + 0,7 + 13,75 + 0,7)] = 0,49;

v = 0,15 — коэффициент, характеризующий упругопластическое состояние бетона сжатой зоны; h1 = l + 0,2(2l — 1) = 1 + 0,2(2 × 1 — 1) = 1,2 — коэффициент, учитывающий увеличение предельного прогиба у середины свободного края плиты, защемленной по трем сторонам при l > 0,5; h₂ = h₀₁/(h₀₁ - 0,7) = 14/(14 — 0,7) = 1,05 — коэффициент, учитывающий возможные отклонения в толщине защитного слоя арматуры;

 

Жесткость плиты обеспечена.