Скорость и ускорение при координатном способе задания движения
Связь векторного способа задания движения и координатного дается соотношением .
Из определения скорости:
.
Проекции скорости на оси координат равны производным соответствующих координат по времени , , .
Точкой сверху здесь и в дальнейшем обозначается дифференцирование по времени.
Модуль и направление скорости определяются выражениями:
, , , .
Из определения ускорения:
.
Проекции ускорения на оси координат равны вторым производным соответствующих координат по времени ,, .
Модуль и направление ускорения определяются выражениями:
,
, , .
Скорость и ускорение при естественном способе задания движения
Естественные оси (касательная, главная нормаль, бинормаль) – это оси подвижной прямоугольной системы координат с началом в движущейся точке. Их положение определяется траекторией движения.
Касательная (с единичным вектором ) направлена по касательной в положительном направлении отсчета дуговой координаты и находится как предельное положение секущей, проходящей через данную точку.
|
|
Через касательную проходит соприкасающаяся плоскость, которая находится как предельное положение плоскости p при стремлении точки M1 к точке M. Нормальная плоскость перпендикулярна касательной. Линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей – главная нормаль. Единичный вектор главной нормали направлен в сторону вогнутости траектории.
Бинормаль с единичным вектором направлена перпендикулярно касательной и главной нормали так, что оси , и образуют правую систему координат.
Координатные плоскости введенной подвижной системы координат (соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая) образуют естественный трехгранник, который перемещается вместе с движущейся точкой, как твердое тело. Его движение в пространстве определяется траекторией и законом изменения дуговой координаты.
Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения
Из определения скорости точки
,
где , – единичный вектор касательной.
Тогда:
, .
Алгебраическая скорость – проекция вектора скорости на касательную, равная производной от дуговой координаты по времени. Если производная положительна, то точка движется в положительном направлении отсчета дуговой координаты.
Из определения ускорения
,
– переменный по направлению вектор и .
Производная определяется только свойствами траектории в окрестности данной точки,
при этом ,
– единичный вектор главной нормали,
– радиус кривизны траектории в данной точке.
Таким образом , т.е. вектор ускорения раскладывается на две составляющие – касательное и нормальное ускорения.
|
|
, , ,
где – алгебраическое значение касательного ускорения (проекция вектора ускорения на касательную) характеризует изменение скорости по величине;
– нормальное ускорение (проекция вектора ускорения на нормаль) характеризует изменение скорости по направлению.
Вектор ускорения всегда лежит в соприкасающейся плоскости и проекция ускорения на бинормаль равна нулю ().
Движение точки ускоренное, если знаки проекций векторов скорости и ускорения на касательную совпадают.