Пространственные решетки (решетки Бравэ

ВНУТРЕННЕЕ СТРОЕНИЕ КРИСТАЛЛОВ

                                     

Исторические сведения.

Уже с давних времен люди пытались понять сущность внутреннего строения кристаллических тел, выявить геометрические законы, по которым частицы располагаются внутри кристаллов. Еще в 1611 г. великий немецкий математик и астроном И. Кеплер в статье «О шестиугольных снежинках» высказал предположение о том, что каждая снежинка образована плотноупаковаными шарами. По словам академика В.И. Вернадского значение этой работы заключается в том, что в ней впервые доказано, что кристаллы подчиняются законам геометрии. М.В. Ломоносов в 1740 г. в своей диссертации «О рождении и природе селитры» обосновал представление, согласно которому кристаллы селитры приобретают шестиугольную форму вследствие плотнейшей укладки мельчайших шарообразных корпускул. На основе такой упаковки он объяснил возникновение у селитры плоских граней. Этим Ломоносов во многом предвосхитил современные представления о кристаллической структуре. Его взгляды не утратили научного значения до сих пор. Современные кристаллографы нередко используют плотнейшую упаковку шаров для объяснения, в первом приближении, некоторых особенностей строения кристаллов.

Французский кристаллограф Р.Ж. Гаюи разработал собственную гипотезу строения кристаллов. Наблюдая каким образом кристаллы раскалываются по плоскостям спайности он предположил, что все кристаллы сложены очень мелкими структурными элементами, имеющими форму параллелепипедов. Внешняя форма кристалла определяется способом укладки этих параллелепипедов, а его спайность ¾ формой элементарного параллелепипеда. Параллелепипеды разных минералов могут иметь форму куба, четырехгранной призмы или другой вид.

Например, кристаллы поваренной соли, по представлениям Гаюи, составлены элементами в форме кубика, а кальцита ¾ в форме ромбоэдра. Вскоре после публикации трудов Гаюи выявились данные, плохо согласующиеся с его взглядами. Октаэдрическая спайность флюорита, по Гаюи, должна указывать на октаэдрическую форму составляющих элементов. Но заполнить пространство без пробелов октаэдрами невозможно. Противоречили его теории и некоторые физические свойства кристаллов. Способность кристаллов сжиматься при приложении давления и расширяться при нагревании противоречила представлению о сплошном заполнении кристаллического пространства параллелепипедами.

Устранить возникшие противоречия удалось О. Бравэ. Он отказался от представления о многогранной форме, которую Гаюи приписывал материальным частицам в кристаллах. Предположив, что их форма неизвестна, он занялся решением вопроса о расположении центров тяжести этих частиц внутри кристаллов. В развитие этой идеи, О. Бравэ первым пришел к выводу о том, что их центры должны располагаться в виде узлов трехмерной пространственной решетки вне зависимости от формы частиц,. Узлы в кристаллической решетке образуют одинаковые смежные и бесконечно повторяющиеся в пространстве параллелепипеды, получившие название элементарных ячеек. В окончательном виде О. Бравэ сформулировал свою идею в 1848 г. Согласно его представлениям, все многообразие кристаллических структур может быть описано с помощью 14 типов пространственных решеток, которые отличаются формами элементарных ячеек и симметрией. По имени автора такие решетки получили название решеток Бравэ.

Решетки Бравэ входят как составные мотивы во все совокупности элементов симметрии реальных кристаллических структур. Однако с помощью только этих решеток невозможно полностью объяснить все особенности кристаллического строения большинства кристаллов. Посредством решеток Бравэ можно вывести лишь одинаковые части структуры, расположенные параллельно друг другу в кристаллах, принадлежащих к планаксиальным видам симметрии. Теория Бравэ не смогла объяснить строение кристаллов, имеющих низшие сингонии (примитивные, планальные и другие классы симметрии).

Возникшая проблема нашла решение в трудах выдающегося русского кристаллографа Е.С.Федорова. В 1885 увидела свет его обширная монография «Начало учения о фигурах». В ней расширено учение о строении кристаллов и дан оригинальный исчерпывающий вывод 230 пространственных групп симметрии. Пространственные группы Федорова аналогичны решеткам Бравэ, но они представляют собой более широкое понятие о правильных системах фигур. Вот как охарактеризовал эти системы сам автор: «Под правильною системою фигур я подразумеваю такую бесконечную во всех направлениях совокупность конечных фигур, что если мы приведем по законам симметрии в совмещение две из таких фигур, входящих в состав системы, то совместятся и сами системы. Если в одной из фигур системы мы возьмем некоторую точку, а затем определим положение всех соответствующих точек как в той же самой фигуре, так и во всех остальных фигурах, то получим правильную систему точек». (Е.С.Федоров. Начало учения о фигурах, 1885, стр. 240).

Совокупностями правильных систем точек, по его мнению, и являются структуры кристаллов.

Пространственные решетки (решетки Бравэ

Для характеристики решеток Бравэ элементарные ячейки должны удовлетворять следующим условиям:

1. Сингония элементарной ячейки должна соответствовать сингонии всей пространственной решетки.

2. Число прямых углов при их наличии, а также равных ребер и углов между ребрами должно быть максимальным.

3. При соблюдении этих условий объем элементарной ячейки должно быть минимален.

Вывод типов решеток Бравэ основан на теореме, согласно которой в решетках всегда имеются трансляции, параллельные и перпендикулярные к осям и плоскостям симметрии. Трансляция этоэлемент симметрии бесконечных фигур, представляющий собой перенос в данном направлении. В отечественной литературе иногда трансляцию называют шагом симметрии. Решетка Бравэ представляют собой группу трансляций, характеризующих расположение материальных частиц в пространстве кристаллической решетки. Ребра элементарной ячейки совпадают с трансляциями в кристаллических решетках.

В соответствии с четырьмя указанными условиями выбора и на основании названной теоремы выберем элементарные ячейки для всех 7 сингоний.

Наиболее просто это сделать для кристаллов кубической сингонии. Здесь всегда присутствую три взаимно перпендикулярные оси симметрии четвертого 3 L_i4, 3 _i4 или второго 3 L₂ порядка. Соответственно указанной теореме параллельно этим осям мы можем выбрать трансляции и принять их за ребра элементарной ячейки. Четверные или или двойные оси симметрии взаимо связаны осью третьего порядка. Следовательно все три ребра элементарной ячейки кристаллов кубической сингонии равны между собой, а сама элементарная ячейка имеет форму куба:

 

а = b = c;   a = b = g = 90°.

 

В тетрагональной сингонии форма элементарной ячейки соответствует комбинации тетрагональной призмы и пинакоида:

а = b ¹ c;   a = b = g = 90°.

В ромбической сингонии все три ребра элементарной ячейки отличаются, углы между ними остаются прямыми, а форма элементарной ячейки отвечает кирпичику.

а ¹ b ¹ c;   a = b = g = 90°.

В моноклинной сингонии ребра элементарной ячейки отличаются, а из прямых углов остаются два. Элементарная ячейка имеет форму параллелепипеда:

 а ¹ b ¹ c;       b ¹ a = g = 90°.

В триклинной сингонии вследствие отсутствия осей и плоскостей симметрии ребра элементарной ячейки совмещаются с любыми трансляциями решетки. Полученная элементарной ячейка имеет форму косоугольного параллелепипеда:

 а ¹ b ¹ c;       a ¹ b ¹ g ¹ 90°.

В гексагональной сингонии выбор элементарной ячейки представляет определенную сложность поскольку не существует параллелепипеда с гексагональной (шестерной) симметрией. Эту трудность обходят следующим образом. Шестерную ось симметрии L₆ или L_i6 принимают за ребро с, а ребра а и в совмещают с трансляциями, нормальными этой оси. В результате получаем параллелепипед:

а = b ¹ c;        a = b = 90°; g = 120°.

В этом случае не выполнено первое условие выбора элементарной ячейки, поскольку ее сингония отличается от сингонии пространственной решетки. Чтобы подчеркнуть принадлежность элементарной ячейки к гексагональной сингонии, часто рассматривают совокупность трех ячеек повернутых относительно друг другу на 120°. Полученная таким образом, утроенная ячейка имеет форму гексагональной призмы и ее симметрию.

Аналогичным образом поступает при выборе элементарной ячейки в тригональной сингонии. За ребро с выбирают тройную ось симметрии L₃ или L_i3 принимают, а ребра а и  в также совмещают с трансляциями, нормальными этой оси. Получаем уже ранее рассмотренный параллелепипед: а = b ¹ c;          a = b = 90°; g = 120°. Однако чаще поступают иначе и выбирают параллелепипед в форме ромбоэдра. Его ребра расположены под косым углом к главной оси симметрии L₃. В результате:

а = b = c;        a = b = g ¹ 90°.

Мы провели краткий обзор элементарных ячеек всех 7 сингоний. В вершинах этих ячеек расположены узлы решеток. Узлы могут также размещаться в центре ячеек и в серединах их граней, но не могут находиться на ребрах. 

Все 14 типов решеток Бравэ, подразделенные по сингониям ячейки представлены в таблице 1.5

 

Таблица 1.5. Распределение по сингониям типов пространственных решеток

 

Сингония	Тип решетки и обозначение
	Примитивная (Р)	Базоцентриро-ванная (С)	Объемноцентри-рованная (I)	Гранецентри-рованная (F)
Триклинная
Моноклинная
Ромбическая
Тригональная
Тетрагональная
Гексагональная
Кубическая

 

Выведенные таким образом пять элементарных ячеек называются примитивными. На каждую примитивную ячейку приходится по одному узлу, поскольку каждый узел из 8, расположенных в вершинах ячейки принадлежит одновременно восьми соседним ячейкам (1/8 ´ 8). Однако в кристаллических структурах возможны также и ячейки, у которых узлы расположены по серединам граней и в центре самой ячейки. У решеток моноклинной и ромбической сингоний узлы расположены не только в вершинах, но также и в центре верхней и нижней гранях. Такие решетки получили название базоцентрированных. В ромбической и кубической сингониях возможны решетки с узлами в вершинах и центрах всех шести граней. Это гранецентрированные решетки. И наконец, у трех сингоний ромбической, кубической и тетрагональной сингониях узлы могут располагаться в вершинах и центре объема ячейки ¾ объемноцнтрированные решетки.

Каждый тип решеток Бравэ представляет собой группу трансляций. Посредством этих трансляций узел, переносится параллельно самому себе, образуя трехмерную кристаллическую структуру.