Простая линейная эконометрическая модель

Наблюдая статистическую связь между признаками, можно приближенно представить значения результативного признака в виде некоторой функции от величины одного или нескольких факторных признаков. При этом следует стремиться, чтобы наблюдаемые данные как можно ближе воспроизводились взятой функцией.

Функция, отображающая статистическую связь между признаками, называется уравнением регрессии.   Если такое уравнение связывает лишь два признака, это уравнение парной регрессии, если оно отображает зависимость результативного признака от двух или более факторных признаков, -это уравнение множественной регрессии. Например:

Y=f(x) - уравнение парной регрессии

Y=f(x₁,x₂,…,x_n) - уравнение множественной регрессии.

Наиболее простым и распространённым случаем является представление эконометрической модели в виде уравнения парной (или однофакторной) линейной регрессии. Линейная эконометрическая однофакторная модель может быть представлена в виде

Поскольку линейная связь между признаками X и Y- теретическая, то над Y=f(x) ставится знак .

Задача заключается в том, чтобы выбрав указанную (линейную) форму зависимости, определить(найти) параметры уравнения а₀ и а₁ так, чтобы отклонения наблюдаемых (реальных) значений признака Yi от теоретических значений были минимальными.

Почему существуют отклонения от прямой регрессии, то есть случайные слагаемые e? Для этого есть несколько причин:

1. Ошибки измерения. Например, при сборе данных об урожайности сельскохозяйственных культур, результаты работы в отчетах могут завышаться или занижаться в зависимости от экономической политики, данные оценивались «на глазок» и т.д.

2. Невключение объясняющих переменных. Возможно, что простая зависимость является очень большим упрощением. Наверняка существуют и другие факторы, влияющие на изменение Y, и которые не удалось оценить и включить в уравнение.

3. Неправильный выбор вида зависимости в уравнении. Возможно зависимость не линейная, а более сложная. Вид зависимости выбирают либо графически, либо проверяя качество моделей на контрольной выборке, либо используя априорные экономические соображения.

Для оценивания параметров a обычно применяют метод наименьших квадратов (МНК). Существуют и другие методы оценки параметров, такие как: метод моментов, метод наименьших модулей, метод максимального правдоподобия.

Остаток для i-го наблюдения определяется уравнением , тогда требование наименьших квадратов записывается в виде: ,

т.е. сумма квадратов отклонений фактических значений признака Y от значений признака Y, вычисленных по уравнению, должна быть наименьшей. Отыскание параметров, удовлетворяющих этому требованию, называется методом  наименьших квадратов (МНК). МНК является наиболее распространённым для оценки параметров регрессии. В соответствии с МНК значения  параметров а₀ и а₁ находятся из уравнений.

где S =

В результате вычислений и преобразований получаем:

Коэффициент a₁ при x называется выборочным коэффициентом регрессии и он показывает среднее изменение результата Y при изменении фактора x на единицу.

Коэффициент a₀ указывает на значение результирующего признака при нулевом значении фактора. Этот факт является важным индикатором для выбора вида уравнения регрессии. Например, если в результате вычислений коэффициент a₀ оказался отрицательным, а экономический смысл задачи диктует положительность или равенство нулю показателя a₀, значит выбор вида уравнения, был неудачен.