Задачи для самостоятельной работы

Вращающаяся прямая

 

1. Определить число корней уравнения в зависимости от значений . Решение. Построим график функции  (рис. 1). Правая часть  представляет собой прямую, проходящую через точку (0; 0) с угловым коэффициентом , принимающим всевозможные значения. Как обычно, мы представляем себе не семейство прямых, а «движущуюся» прямую, которая «вращается» вокруг точки (0; 0) (только вертикальное положение она принимать не может). Мысленно вращая эту прямую, мы определяем число точек пересечения при различных значениях . Мы видим, что при  имеется одна точка пересечения, при  таких точек нет, при  одна (), при  две точки пересечения, и при  — одна. Ответ: при  одно решение, при  нет решений, при  одно (), при  два, и при  — одно.

2. Решить уравнение . Решение. Исследование, проведенное в предыдущей задаче, поможет нам определить, какие корни мы должны брать при данном значении параметра. По чертежу (рис. 1) видим, что при  прямая  пересекается только с лучом , значит, находим решение уравнения . При  решений нет, при , при  прямая  пересекается и с лучом , и с лучом , значит, находим решение уравнения : ; и решение уравнения : . И, наконец, при  берем только точку пересечения с лучом , . Ответ: при . При  решений нет, при , при  и , при .

3. Определить число корней уравнения  в зависимости от значений . Решение. Построим график функции  (рис. 2). Правая часть  представляет собой прямую, проходящую через точку (0;1) с угловым коэффициентом . Мысленно вращая эту прямую, мы определяем число точек пересечения при различных значениях . Выделим «крайние» положения этой прямой: прямая проходит через точку (–2; 0) при , а через точку (2; 0) при . При  прямая параллельна лучу , а при  — лучу . Мы видим, что при  имеется одна точка пересечения, при  две, при  три, при  четыре точки пересечения. При положительных значениях  картина симметричная: при  три, при  две, при  одна точка пересечения. Ответ: при одно решение, при  два, при  три, при  четыре решения.

4. При каких значениях  уравнение  имеет три корня? Решение. Построим график функции  (рис. 3) и рассмотрим «вращающуюся» прямую . Мы видим, что три точки пересечения получаются, если прямая  касается параболы  в точке, принадлежащей промежутку (2; 4). Значение параметра , соответствующее этому положению можно найти, составив условия касания: . Отсюда , но мы выбираем значение , при этом . Ответ: .

5. Определить число корней уравнения  в зависимости от значений . Решение. Кроме данных, полученных в предыдущей задаче, определим еще касательное положение прямой  к параболе  в точке с отрицательной абсциссой. Для этого составим условия касания: , отсюда . По чертежу (рис. 3) определяем, что при  имеются две точки пересечения. По чертежу может создаться ошибочное представление, что эта точка только одна, но на самом деле прямая, не являющаяся касательной к параболе и не вертикальная, не может иметь с параболой одну точку пересечения. При  общая точка одна, при  таких точек нет, при  их две, при  четыре, при  три, и при  две. Ответ: при  два решения, при  одно, при  нет решений, при  два, при  четыре, при  три, и при  два решения.

6. Решить уравнение  в зависимости от значений . Решение. Решим уравнения (1)  и (2) . Корни уравнения (1) , корни уравнение (2) . По чертежу определяем, что при  прямая  пересекается с обеими параболами, значит, все четыре корня  являются решениями. При  нет решений. При  прямая  пересекается только с параболой , следовательно, корни  (совпадающие при ). При   прямая  пересекается только с параболой , следовательно, корни (совпадающие при ). При . Ответ: При  нет решений. При . При . При . При , .

7. При каких  минимум функции  больше 1? Решение. Переформулируем задачу таким образом: при каких  неравенство  выполняется для всех ? Изобразим график функции  и семейство прямых  (рис. 4). Нам нужные прямые, проходящие ниже графика функции. Находим значение , соответствующее касательному положению прямой:  Ответ:

8. Определить число корней уравнения  в зависимости от значений . Решение. Изображаем график функции  (рис. 5). «Уголок»  имеет вершину в точке , а наклон его лучей определяется значением . По чертежу определяем, что при  одно решение , при  два решения , , при  три решения, при  решений бесконечно много (весь луч , и при  снова одно решение . Ответ: при  одно решение, при  два решения, при  три решения, при  решений бесконечно много, при  одно решение.

9. Решить уравнение . Решение. Изобразим график  и семейство  (рис. 6). Чертеж подсказывает, какие именно лучи «уголков» пересекаются при данном значении параметра. При  решений нет, при . При  с линией  пересекается луч . Решая уравнение , получаем , и . При  пересекаются лучи , получаем . При  луч  пересекается с «уголком» . Решая уравнения  получаем , . Ответ: при  нет решений, при , при  и , при .

10. При каких значениях  уравнение имеет решения в промежутке   Решение. Изобразим график функции  на промежутке  (рис. 7). Определим значения на концах промежутка: . Рассмотрим «вращающуюся» прямую  и определим ее положения, когда она имеет точки пересечения с графиком. Если прямая проходит через точку , то , , если же прямая проходит через точку (–1; 4), то , . Точки пересечения с графиком будут в промежуточных положениях: . Ответ:

11.

При каких значениях  уравнение  имеет решение? Решение. Придется построить график функции . Найдем область определения: . Найдем производную: . Находим, что в точке  функция имеет максимум, . Вычислим значения на концах области определения: . Для схематического построения графика этого достаточно (рис. 8). Определим значения  в «крайних» положениях прямой , когда она пересекается с графиком:  Ответ:

12. При каких значениях  уравнение  имеет единственное решение? Решение. Изобразим график правой части , это полуокружность , и семейство прямых , проходящих через точку (0; –1) с угловыми коэффициентами  (рис. 9). Нетрудно по чертежу определить, при каких угловых коэффициентах прямые имеют одну точку пересечения с полуокружностью. Во-первых, это «пучок» прямых между прямыми, проходящими через концы полуокружности,  и  (причем прямая  имеет с полуокружностью одну точку пересечения, а прямая  — две). Эти прямые имеют угловые коэффициенты . Во- вторых, это касательная к окружности. Ее угловой коэффициент можно найти из геометрических соображений, а можно выражение  подставить в уравнение окружности  и потребовать, чтобы решение было только одно, т. е. чтобы дискриминант уравнения  был равен нулю. Составим ,  при . Значение  дает касательную к нижней полуокружности,  — к верхней. Ответ: , .

 

 

Задачи для самостоятельной работы

13. При каких  уравнение имеет три корня? Ответ: .

14. Определить число корней уравнения  Ответ: при ,  одно решение, при  три решения, при  одно решение.

15. Определить число корней уравнения  в зависимости от значений . Ответ: при  два решения, при  одно, при  нет решений, при  два, при  четыре, при  три, и при  два решения.

16. При каких значениях  прямая  имеет ровно две общих точки с графиком функции ? Ответ: .

17. При каких значениях  прямая  имеет ровно две общих точки с графиком функции ? Ответ: .

18. При каких  уравнение  имеет единственный корень? Ответ: .

19. При каких значениях  прямая  имеет ровно две общих точки с графиком функции ? Ответ: .

20. При каких значениях  прямая  имеет ровно две общих точки с графиком функции ? Ответ: .

21. Решить уравнение . Ответ: при  решений нет, при , при , , при .

22. Определить число корней уравнения  в зависимости от значений . Ответ: при  нет решений, при  одно, при  два, при  три, при  четыре решения.

23. Определить число корней уравнения . Ответ: при ,  одно решение, при  три решения, при  одно решение.

24. При каких значениях  уравнение  имеет три корня? Ответ:

25. Определить число корней уравнения Ответ: при  одно решение, при  нет решения, при  четыре решения.