На приведенных рисунках подпишите оси координат и оформите легенду

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ №1

ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ

 

Для группы регионов заданы значения трех признаков. Требуется:

1. Для каждой пары признаков Y и X_i (i = 1, 2, 3) рассчитать параметры линейной регрессионной модели , построить модели на корреляционных полях.

2. Оценить каждую регрессионную модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера, t-критерий Стьюдента.

3. Для каждой пары признаков найти коэффициент корреляции, коэффициент детерминации.

4. Выполнить прогноз признака Y при прогнозном значении X₁, составляющем 105% от среднего уровня, оценить точность прогноза по стандартной ошибке и доверительному интервалу.

5. Определить с помощью коэффициентов эластичности силу влияния каждого признака X_i на результирующий признак Y, ранжировать признаки X_i по силе влияния.

 

 

Результаты анализа оформить в виде аналитической записки.

 

Исходные данные. Вариант 10.

 

		Y	X1	X2	X3
		Все преступления экономической направленности - число зарегистрированных преступлений на 100 тыс населения региона	Объем промышленного пр-ва на душу населения	Продукция с/х(хоз.всех катег) на душу населения	Доля городского населения в общей численности постоянного населения(%)
1	Владимирская область	215,67	14,63	4,76	80,5
2	Ивановская область	283,15	8,08	3,03	82,4
3	Калужская область	217,77	10,97	5,34	74,4
4	Тверская область	165,59	11,45	4,52	73,5
5	Тульская область	207,63	15,75	4,89	81,5
6	Ярославская область	224,41	13,61	5,08	80,5
7	Северная Осетия-Алания	200,89	4,61	3,30	68,6
8	Астраханская область	293,78	10,38	2,57	66,8
9	Волгоградская область	238,3	15,28	4,81	74,1
10	Удмуртская Республика	118,72	10,09	5,41	69,5
11	Нижегородская область	209,74	19,76	3,47	78,3
12	Саратовская область	170,66	11,18	4,70	73,2
13	Омская область	164,97	7,80	5,24	67,3
14	Томская область	261,22	14,50	3,94	66,8
15	Читинская область	181,51	5,64	3,84	62,7
16	Еврейская авт,область	229,59	4,27	3,19	67,6
17	Коми Респ.	348,05	10,05	3,15	74,2
18	Самарская область	245,99	14,59	5,54	80,4

 

Решение

 

1. Построим уравнения парной линейной регрессии вида  для пар переменных y, x₁, y, x₂ и y, x₃.

Параметры b₀ и b₁ уравнения линейной регрессии рассчитываются методом наименьших квадратов путем решения системы нормальных уравнений:

Для нахождения параметров b₀ и b₁ используем ППП «Анализ данных» MS Excel. Результаты расчетов приведены в приложениях 1, 2, 3.

 

Уравнения регрессии имеют вид:

Для пары признаков y, x₁

.                                                                       (1)

На приведенных рисунках подпишите оси координат и оформите легенду

Рис. 1. Прямая линия регрессии  

на корреляционном поле

 

Для пары признаков y, x₂:

.                                                                    (2)

Рис. 2. Линия регрессии  на корреляционном поле

 

Для пары признаков y, x₃:

.                                                                        (3)

Рис. 3. Линия регрессии  на корреляционном поле

2. Оценим каждое уравнение регрессии через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера, t-критерий Стьюдента.

Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации по формуле:

.

Для вычисления  составим расчетные таблицы (см. приложения 4, 5, 6).

 ,  ,  .

Т.к. значения средней относительной ошибки аппроксимации для всех уравнений находятся в пределах от 10% до 20%, все уравнения имеют хорошую точность.

Исследование статистической значимости уравнения регрессии в целом проводится с помощью F-критерия Фишера. Выдвинем гипотезу Н₀ о том, что уравнение в целом статистически незначимо, при конкурирующей гипотезе Н₁: уравнение в целом статистически значимо. Расчетное значение критерия находится по формуле:

.

Для парного уравнения p = 1.

Табличное (теоретическое) значение критерия находится по таблице критических значений распределения Фишера-Снедекора по уровню значимости по уровню значимости α и двум числам степеней свободы k ₁ = p = 1 и k ₂ = n - p - 1 = 16.

 .

Если F_расч<F_табл,                                                                          (4)

то гипотеза Н₀ принимается, а уравнение линейной регрессии в целом считается статистически незначимым (с вероятностью ошибки 5%).

Для уравнения (1) F_расч = 0,10, неравенство (4) выполняется. Принимается гипотеза Н₀. Уравнение в целом статистически незначимо.

Для уравнения (2) F_расч = 7,59, неравенство (4) не выполняется. Принимается гипотеза Н₁. Уравнение в целом статистически значимо.

Для уравнения (3) F_расч = 0,69, неравенство (4) выполняется. Принимается гипотеза Н₀.Уравнение в целом статистически незначимо.

Для статистически значимого линейного уравнения регрессии проверяется статистическая значимость оценок его параметров b₀, b₁ с помощью t‑критерия Стъюдента. Выдвигается гипотеза Н₀: параметр b_j = 0 (j = 0, 1) (статистически незначим, случайно отличается от 0), при конкурирующей гипотезе Н₁: параметр b_j ≠ 0 (статистически значим, неслучайно отличается от 0). Находится расчетное значение критерия

 ,

где средние квадратические ошибки параметров b_j равны

 ,

 .

Теоретическое значение критерия t_табл находится по таблице критических значений распределения Стъюдента по уровню значимости α и числу степеней свободы k = n - p - 1. Если t _bj > t_табл, то гипотеза Н ₀ отвергается с вероятность ошибки α, т.е. оценка коэффициента регрессии b _j признается статистически значимой, в противном случае (t _bj < t_табл) - незначимой.

Табличное значение критерия для уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы k = n - 2 = 16 равно.

Найдем доверительные интервалы для параметров b₀ и b₁ уравнения (1).

∆b₀= t_табл·m_b0=1,746·38,457=67,147;

∆b₁ = t_табл·m_b1 =1,746·3,213=5,610.

Сами доверительные интервалы имеют вид:

;

.

 

Для уравнений (2) и (3) расчеты проводятся аналогично.

Результаты расчетов (см. приложения 1, 2, 3) приведены в таблицах 1, 2, 3.

Таблица 1.

Проверка критерия Стъюдента

	Уравнение регрессии
Параметр уравнения b j	Среднеквадратическая ошибка параметра	Расчетное значение критерия	Табличное значение критерия tтабл	Вывод о статистической значимости	Границы доверительных интервалов
					левая	правая
b0	38,46	5,45	1,75	значим	142,26	276,55
b1	3,21	0,32		незначим	-4,58	6,64

Доверительный интервал для параметра b₁ имеет разные знаки, что подтверждает вывод критерия Стъюдента о его статистической незначимости.

 

Таблица 2.

Проверка критерия Стъюдента Заполните таблицу самостоятельно

	Уравнение регрессии
Параметр уравнения b j	Среднеквадратическая ошибка параметра	Расчетное значение критерия	Табличное значение критерия tтабл	Вывод о статистической значимости	Границы доверительных интервалов
					левая	правая
b0			1,75
b1

 

Таблица 3.

Проверка критерия Стъюдента Заполните таблицу самостоятельно

	Уравнение регрессии
Параметр уравнения b j	Среднеквадратическая ошибка параметра	Расчетное значение критерия	Табличное значение критерия tтабл	Вывод о статистической значимости	Границы доверительных интервалов
					левая	правая
b0			1,75	значим
b1				незначим

 

3. Коэффициент корреляции находится по формуле:

Из таблицы «Вывод итогов» (см. приложение 1)

 . Следовательно, между показателями y и x₁ практически нет линейной связи.

Для признаков y и x₂ r = 0,57, следовательно, между признаками существует прямая регрессионная зависимость средней силы.

Для y и x₃ r = 0,20, следовательно, между признаками существует прямая слабая регрессионная зависимость.

Коэффициент детерминации для пары признаков y и x₁:

.

Т.е. всего 0,64% изменчивости y объясняется показателем x₁.

Для признаков y и x₂ R² = 0,32, следовательно, 32% вариации y объясняется влиянием показателя x₂.

Для y и x₃ R² = 0,04, Т.е. всего 4% изменчивости y объясняется показателем x₃.

 

4. Найдем прогнозное значение y_пр путем подстановки значения x_1пр в уравнение регрессии

.

x_пр = 11,27*1,05 = 11,82

Стандартную ошибку прогноза найдем по формуле

 = 56,96

Доверительный интервал прогнозного значения имеет вид

 , или

(122,11; 321,01).

Результаты расчетов приведены в приложении 4.

 

5. Определим с помощью коэффициентов эластичности силу влияния признаков x_j на результирующий признак y.

 

Для парного линейного уравнения регрессии средний коэффициент эластичности находится по формуле:

Для признаков y и x₁ уравнение регрессии имеет вид

.

 

Фактор «Объём промышленного производства на долю населения» (X₁) оказывает слабое влияние на величину экономической преступности (Y): при его росте на 1% среднее число совершаемых экономических преступлений увеличивается всего на 0,05%.

Частные коэффициенты эластичности находятся по формулам

.

Расчеты эластичности приведены в приложениях 4, 5, 6 и в итоговой таблице 4.

 

Таблица 4.

		Частные коэффициенты эластичности
		Эiлинейн	Эiстеп	Эiпоказ	Эiгиперб
1		-0,25
2		-0,36
3		-0,35
4		-0,39
5		-0,36
6		-0,27
7		-0,33
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Средний коэффициент эластичности		-0,33

 

Самостоятельно сделайте вывод по значениям коэффициентов эластичности (средним и частным), в котором ответьте на вопросы:

- какой признак оказывает на y самое большое влияние, какой – наименьшее, как при этом изменяется ;

- какие региональные особенности можно выделить на основе частных коэффициентов эластичности.

Вид регрессионного уравнения	Аср	Fрасч	R^2скор
Линейное
Степенное
Показательнее
Гиперболическое

 

Приложение 4.

Расчетная таблица

 

	y,x1
		yi	x1i	yiтеор	ABS((yi-yiтеор)/yi)	(yi-yiтеор)^2	(x1i-x1ср)^2	Эi
1	Владимирская область	215,67	14,63	224,45	0,04	77,10	11,39	0,07
2	Ивановская область	283,15	8,08	217,72	0,23	4281,57	10,07	0,04
3	Калужская область	217,77	10,97	220,68	0,01	8,49	0,08	0,05
4	Тверская область	165,59	11,45	221,18	0,34	3089,96	0,04	0,05
5	Тульская область	207,63	15,75	225,60	0,09	322,95	20,19	0,07
6	Ярославская область	224,41	13,61	223,40	0,00	1,02	5,54	0,06
7	Северная Осетия-Алания Респ.	200,89	4,61	214,14	0,07	175,67	44,19	0,02
8	Астраханская область	293,78	10,38	220,07	0,25	5432,45	0,77	0,05
9	Волгоградская область	238,30	15,28	225,11	0,06	173,93	16,14	0,07
10	Удмуртская Республика	118,72	10,09	219,78	0,85	10212,98	1,36	0,05
11	Нижегородская область	209,74	19,76	229,72	0,10	399,19	72,23	0,09
12	Саратовская область	170,66	11,18	220,90	0,29	2524,37	0,01	0,05
13	Омская область	164,97	7,80	217,42	0,32	2751,06	11,98	0,04
14	Томская область	261,22	14,50	224,31	0,14	1362,40	10,48	0,07
15	Читинская область	181,51	5,64	215,20	0,19	1135,23	31,56	0,03
16	Еврейская авт,область	229,59	4,27	213,80	0,07	249,45	48,80	0,02
17	Коми Респ.	348,05	10,05	219,74	0,37	16463,18	1,45	0,05
18	Самарская область	245,99	14,59	224,41	0,09	465,78	11,11	0,07
	Сумма	3977,64	202,64	3977,64	3,50	49126,79	297,41
	Среднее значение	220,98	11,26	220,98	0,19			0,05
	xпр=	11,82	yпр=	221,56	myпр=	56,96	tα=	1,75
					доверительный интервал прогноза	(122,11	321,01)

 

 

Приложение 5.

 

Расчетная таблица

 

	y,x2
		yi	X2i	yiтеор	ABS((yi-yiтеор)/yi)	Эi
1	Владимирская область	215,67	4,76	205,14	0,05	-0,74
2	Ивановская область	283,15	3,03	260,54	0,08	-0,37
3	Калужская область	217,77	5,34	186,59	0,14	-0,92
4	Тверская область	165,59	4,52	212,97	0,29	-0,68
5	Тульская область	207,63	4,89	200,88	0,03	-0,78
6	Ярославская область	224,41	5,08	194,94	0,13	-0,83
7	Северная Осетия-Алания Респ.	200,89	3,30	251,92	0,25	-0,42
8	Астраханская область	293,78	2,57	275,18	0,06	-0,30
9	Волгоградская область	238,30	4,81	203,68	0,15	-0,76
10	Удмуртская Республика	118,72	5,41	184,25	0,55	-0,94
11	Нижегородская область	209,74	3,47	246,62	0,18	-0,45
12	Саратовская область	170,66	4,70	207,02	0,21	-0,73
13	Омская область	164,97	5,24	189,71	0,15	-0,89
14	Томская область	261,22	3,94	231,34	0,11	-0,55
15	Читинская область	181,51	3,84	234,55	0,29	-0,52
16	Еврейская авт,область	229,59	3,19	255,35	0,11	-0,40
17	Коми Респ.	348,05	3,15	256,62	0,26	-0,39
18	Самарская область	245,99	5,54	180,35	0,27	-0,98
	Сумма	3977,64	76,81	3977,64	3,32
	Среднее значение	220,98	4,27	220,98	0,18	-0,62

 

 

Приложение 6.

Расчетная таблица

 

	y,x3
		yi	х3i	yiтеор	ABS((yi-yiтеор)/yi)	Эi
1	Владимирская область	215,67	80,50	233,61	0,08	0,62
2	Ивановская область	283,15	82,40	237,02	0,16	0,62
3	Калужская область	217,77	74,40	222,66	0,02	0,60
4	Тверская область	165,59	73,50	221,05	0,33	0,60
5	Тульская область	207,63	81,50	235,41	0,13	0,62
6	Ярославская область	224,41	80,50	233,61	0,04	0,62
7	Северная Осетия-Алания Респ.	200,89	68,60	212,26	0,06	0,58
8	Астраханская область	293,78	66,80	209,03	0,29	0,57
9	Волгоградская область	238,30	74,10	222,13	0,07	0,60
10	Удмуртская Республика	118,72	69,50	213,87	0,80	0,58
11	Нижегородская область	209,74	78,30	229,66	0,09	0,61
12	Саратовская область	170,66	73,20	220,51	0,29	0,60
13	Омская область	164,97	67,30	209,92	0,27	0,58
14	Томская область	261,22	66,80	209,03	0,20	0,57
15	Читинская область	181,51	62,70	201,67	0,11	0,56
16	Еврейская авт,область	229,59	67,60	210,46	0,08	0,58
17	Коми Респ.	348,05	74,20	222,31	0,36	0,60
18	Самарская область	245,99	80,40	233,43	0,05	0,62
	Сумма	3977,64	1322,30	3977,64	3,46
	Среднее значение	220,98	73,46	220,98	0,19	0,60