Запас устойчивости по фазе у неустойчивой системы имеет отрицательное значение

ЛЕКЦИЯ № 10

4.3. ОБЛАСТИ И ЗАПАСЫ УСТОЙЧИВОСТИ САУ

 

Синтез реальных систем ориентирован на создание устойчивых систем, т.е. обладающих необходимым запасом устойчивости.

В процессе работы системы ее параметры (коэффициенты передачи и постоянные времени) из-за изменений внешних условий, колебаний напряжений источников энергии и других причин отличаются от расчетных значений. Если не принять определенных мер, то система может стать неустойчивой. Для исключения этого явления при проектировании следует обеспечить определенные запасы устойчивости системы, которые характеризуются близостью амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы к точке с координатами (-1, j0).

В связи с этим необходимо иметь возможность количественно оценить запас устойчивости.

Наиболее распространенными оценками последнего являются следующие оценки (в соответствии с критериями устойчивости):

· корневые методы оценки запаса устойчивости;

· алгебраические;

· частотные методы.

 

При корневых методах степень устойчивости САУ определяется расположением корней р₁, р₂, …, р_п характеристического уравнения на левой части комплексной плоскости, являющаяся зоной устойчивости (рис.4.3).

 

 

Рис. 4.3.

 

Из рис 4.3. понятно, что чем ближе  к мнимой оси, тем ближе САУ к границе устойчивости.

Расстояние от мнимой оси до действительной части ближайшего к ней корня называется степенью устойчивости h (отрезок 0 p₁), т.е. h = │p₁│.

 

Колебательные свойства системы регулирования предопределяет k –ая пара комплексных корней , для которой наибольшее отношение

или наибольший угол j между действительной осью и лучами, соединяющими начало координат с этими корнями. В данном случае такой парой являются комплексные корни р₂ и р₃.

Отношение m мнимой части b к действительной части a доминирующей пары комплексных корней называют степенью колебательности.

Если запас устойчивости будет задан через показатель η_зад, то система должна иметь степень устойчивости больше или равную заданной η ≥ η_зад, и область расположения корней будет находиться слева от прямой η = η_зад (рис. 7.6,а).

Рис.7.6.

 

В зависимости от степени колебательности область запаса устойчивости определяется сектором АОВ (рис. 7.6,б).

В ряде случаев для оценки запаса устойчивости можно использовать одновременно оба рассмотренных показателя − степень устойчивости и степень колебательности. В этом случае область обеспечения заданного запаса устойчивости определяется областью АВСD (рис. 7.6, в).

Запас устойчивости можно найти и по алгебраическому критерию Гурвица.

Запасом устойчивости здесь считается некоторая величина , при которой самый минимальный определитель Гурвица не будет меньше этой величины:

,      , где  - запас устойчивости.

При частотных критериях устойчивости различают два критерия: по амплитуде и по фазе.

Запасы устойчивости определяют на двух частотах: частоте среза ω_с и критической частоте ω_кр. На частоте среза АЧХ разомкнутой системы равна единице, на критической частоте ФЧХ принимает значение, равное -π.

Различают запас устойчивости по амплитуде (модулю) и запас устойчивости по фазе.

Запас устойчивости по амплитуде задается некоторой величиной h (рис.5.12,а), на которую должен отличаться модуль АФЧХ разомкнутой системы от единицы на частоте, при которой фаза равняется ψ(ω)= -180⁰, т.е.

 

h = │1-A(ω)│_{ψ(ω)= -180}⁰│                               (5.14)

 

а)                                          б)

 

 Рис. 5.12. АФЧХ разомкнутой системы

 

Запас устойчивости по фазе задается некоторым углом μ (рис.5.12,б), на который должна отличаться фаза АФЧХ разомкнутой системы от -180⁰ на частоте (частота среза), при которой модуль равняется единице, т.е.

μ = │-180⁰ -ψ(ω)│_{A(ω) =1}│                                  (5.15)

В хорошо демпфированных системах запас устойчивости по амплитуде составляет примерно h = 6÷20 дб, что составляет 2÷10 в линейном масштабе, а запас по фазе μ = 30÷60⁰.

Запас устойчивости по фазе у неустойчивой системы имеет отрицательное значение.

4.4. ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА

 

Критерий Найквиста относится к частотным критериям устойчивости. Частотные методы исследования устойчивости основаны на связи расположения корней характеристического полинома (обозначим его функцией D(р) для любого типа систем) с годографом этого полинома на комплексной плоскости, т.е. с графиком комплексной функции D(jw) при изменении w от 0 до ∞. Это графоаналитические методы, позволяющие по виду частотных характеристик систем судить об их устойчивости. Их достоинство - в простой геометрической интерпретации, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения. В основу всех частотных критериев устойчивости положен принцип аргумента, основанный на правиле: изменение аргумента вектора D при изменении частоты от -∞ до +∞ равно разности между числом левых и правых корней уравнения D(p) = 0, умноженному на p, а при изменении частоты от 0 до +∞ эта разность умножается на p/2.

Так как для устойчивой системы число правых корней m = 0, то угол поворота вектора D(jw) составит

                  = np/2.                                        (4.2.2)

Критерий Найквиста основан на связи свойства устойчивости замкнутой системы с формой АФЧХ разомкнутой устойчивой системы. Разомкнутой системой являются все последовательно соединенные блоки от входа системы до точки замыкания обратной связи Исследование разомкнутой системы проще, чем замкнутой, и его можно производить экспериментально.

Передаточная функция W_pc разомкнутой системы:

W_pс(jw) = K_pc(jw)/H_pc(jw),

с углом поворота фазы в соответствии с выражением (4.2.2):

D arg H_рс(jw) = np/2, 0 ≤ w ≤ ∞.                           (4.2.3)

АФЧХ замкнутой системы описывается выражением:

W_зс(jw)= W_pc(jw) /[1+ W_pc(jw)].                                  (4.2.4)

Обозначим знаменатель этого выражения через W₁(jw):

W₁(jw)=1+W_pc(jw)=1+K_pc(jw)/H_pc(jw)=H(jw)/H_pc(jw),     (4.2.5)

где H(jw) = K_pc(jw) + H_pc(jw), характеристический полином замкнутой системы при р=jw.

В соответствии со свойствами передаточных функций порядок полинома Н(р) не превышает порядка полинома H_pc(p), т.к. H(p)=K_pc(p)+H_pc(p), а порядок полинома K_pc(p) меньше порядка полинома H_pc(p). Поэтому критерий Михайлова для замкнутой системы соответствует выражению:

D arg H(jw) = (n - 2m) (p/2), 0 ≤ w ≤ ∞.                    (4.2.6)

где m - число правых корней системы, имеющей в замкнутом состоянии характеристический полином Н(р)=0.

Из (4.2.5) следует: D arg W₁(jw) = D arg H(jw) - D arg H_pc(jw).

C учетом (4.2.3):

D arg W₁(jw) = (n - 2m) (p/2) - np/2 = -mp.                          (4.2.7)

В устойчивой замкнутой системе правых корней в характеристическом уравнении нет, т. е. m=0, а, следовательно, условием устойчивости замкнутой системы будет:

D arg W₁(jw) = 0.                                            (4.2.8)

Условие (4.2.8) выполняется только тогда, когда кривая W₁(jw) при изменении частоты от 0 до ∞ не охватывает начала координат комплексной плоскости. Действительно, только в этом случае результирующий поворот вектора W₁(jw) при изменении w от 0 до ∞ будет равен нулю, так как возрастание угла j(w), обусловленное движением вектора W₁(jw) в положительном направлении (против часовой стрелки), будет компенсироваться таким же убыванием j(w), обусловленным движением вектора W₁(jw) в отрицательном направлении (по часовой стрелке).

Как видно из (4.2.5), переход на комплексной плоскости от годографа вектора W₁(jw) к годографу вектора АФЧХ разомкнутой системы W_pс(jw) осуществляется сдвигом кривой W₁(jw) влево на -1, так как W_pc(jw) = W₁(jw) -1. С учетом этой операции, получаем следующую формулировку амплитудно-фазового критерия устойчивости Найквиста: линейная динамическая система, устойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива и в замкнутом состоянии, если АФЧХ разомкнутой системы W_pс(jw) при изменении частоты от 0 до ∞ не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами (-1; j0) (рис. 4.2.4, годограф 2).

Рис. 4.2.4.

Более общая формулировка критерия Найквиста относится к системам, имеющим так называемую АФЧХ второго рода (рис. 4.2.4, годограф 1), когда W_pс(jw) пересекает (неограниченное количество раз) вещественную ось левее точки Re W_pc(w) = -1. Будем считать положительным переход годографа через вещественную ось, если он совершается сверху вниз, и отрицательным, если он совершается снизу вверх. Для таких годографов критерий Найквиста формулируется в следующем виде: линейная динамическая система, устойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива и в замкнутом состоянии, если при изменении частоты от 0 до +∞ разность между числом положительных переходов годографа АФЧХ разомкнутой системы через участок вещественной оси (-1; -∞) и числом отрицательных переходов равна нулю.

Из этого условия видно, что система, устойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая АФЧХ в форме кривой 1 на рис. 4.2.4, устойчива и в замкнутом состоянии.

Критерий Найквиста нагляден. Он позволяет не только выявить, устойчива ли система, но и, в случае, если она неустойчива, наметить меры по достижению устойчивости.

 

На запас устойчивости влияет коэффициент усиления системы K. Его увеличение, например, для годографа на рис. 5.12 а, приведет к уменьшению запаса устойчивости.

Чтобы спроектировать систему с заданными запасами устойчивости по модулю h_з и фазе μ_з, строят запретную область вокруг точки с координатами (-1, j0),  в которую не должна заходить АФЧХ разомкнутой системы (рис.5.13).

 

Рис. 5.13. Запретная область для АФЧХ разомкнутой системы

 

 

При рассмотрении устойчивости САУ необходимо учитывать понятие структурной устойчивости. [32]. Астатическая система может быть неустойчивой по двум причинам: неподходящий состав динамических звеньев и неподходящие значения параметров звеньев.

Системы, неустойчивые по первой причине, называются структурно неустойчивыми. Это означает, что изменением параметров системы нельзя добиться ее устойчивости, нужно менять ее структуру.

Рис. 4.3.1.

Например, если система состоит из любого количества инерционных и колебательных звеньев, она имеет вид, показанный на рис. 4.3.1. При увеличении коэффициента усиления системы K каждая точка ее АФЧХ удаляется от начала координат, пока при некотором значении К_крит АФЧХ не пересечет точку (-1, j0). При дальнейшем увеличении K, система будет неустойчива. И, наоборот, при уменьшении K такую систему, в принципе, можно сделать устойчивой, поэтому ее называют структурно устойчивой.

Cистема, имеющая одно интегрирующее звено, является структурно устойчивой. Если система имеет два интегрирующих звена, то такая система не будет устойчива ни при каких значениях параметров, то есть она структурно неустойчива.

  Структурно неустойчивую систему можно сделать устойчивой, включив в нее корректирующие звенья (например, дифференцирующие) или изменив структуру системы, например, с помощью местных обратных связей.

 

 

4.5. ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЧХ

 

Построение амплитудно-фазовых частотных характеристик разомкнутых систем связано с громоздкими вычислениями, поэтому целесообразно оценивать их устойчивость по логарифмическим частотным характеристикам. Для этого необходимо построить ЛЧХ разомкнутой системы (рис.5.14). На рис.5.14 условно показано четыре варианта возможного прохождения ЛФХ.

 

 

В том случае, когда АФЧХ не имеет точек пересечения с вещественной осью слева от точки с координатами (-1, j0), то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие ω_с<ω_кр.

То есть замкнутая система будет абсолютно устойчивой, если ЛАХ разомкнутой системы принимает отрицательные значения раньше, чем ЛФХ достигнет значения фазы -180⁰ (кривая 4 на рис.5.14).

Если ЛАХ разомкнутой системы принимает отрицательные значения позже, чем ЛФХ достигнет значения фазы -180⁰ (кривая 1 на рис.5.14), то замкнутая система неустойчивая.

Если ЛАХ разомкнутой системы принимает значение амплитуды 0 дб на одной частоте, что и ЛФХ достигнет значения фазы -180⁰ (кривая 2 на рис.5.14), то это соответствует колебательной границе устойчивости.

В условно устойчивых системах (кривая 3 на рис.5.14) для оценки устойчивости следует в диапазоне частот, где ЛАХ больше нуля, подсчитать число переходов ЛФХ через прямую -180⁰. Если число положительных (сверху вниз) переходов через эту прямую равняется числу отрицательных (снизу вверх), то система в замкнутом состоянии устойчива.

Рис. 5.14.

По ЛЧХ разомкнутой системы можно определить запасы устойчивости: запас по фазе μ(аргументу) отсчитывается по ЛФХ на частоте среза ω_с,

 а запас по амплитуде Lh (модулю) соответствует значению ЛАХ на критической частоте ω_кр (фазовый сдвиг здесь равен -p), взятому с обратным знаком (кривая 4 на рис.5.14).

Если ω_с=ω_кр, то система находится на границе устойчивости. Граничное значение общего коэффициента передачи разомкнутой системы k_гр определяется из выражения:

20 lg k_гр = 20 lg k + L_h,

где k - общий коэффициент передачи разомкнутой системы.

В заключение дадим некоторые рекомендации, которые следуют из практики проектирования систем.

Во-первых, для того чтобы в системе были обеспечены необходимые запасы устойчивости, наклон ЛАХ в диапазоне частот, в котором расположена частота среза, должен быть равным -20дб/дек.

При наклоне характеристики, равном -40дб/дек, трудно обеспечить необходимый запас устойчивости по фазе.

При наклоне характеристики, равном 0 дб/дек, получают излишне большие запасы устойчивости по фазе, система становится передемпфированной с длительным переходным процессом.

Во-вторых, запас устойчивости по фазе в системе зависит от диапазона частот, в котором ЛАХ разомкнутой системы на частоте среза имеет наклон -20дб/дек. Чем больше этот диапазон частот, тем выше запас устойчивости по фазе и наоборот.

Указанные оценки запасов устойчивости можно определить и по логарифмическим характеристикам системы в разомкнутом состоянии, как показано на рис. 4.19.

 

 

Рис. 4.19

Здесь  – амплитудная характеристика двух систем управления, а  и  – их фазовые характеристики.

Как видно, первая система, имеющая фазовую характеристику , является неустойчивой, так как . В то же время вторая система, имеющая фазовую характеристику , является устойчивой, так как . При этом её запас устойчивости по фазе равен углу , показанному на рис. 4.19. Её запас устойчивости по усилению характеризуется длиной отрезка , который также показан на рис. 4.19. Численное значение запаса устойчивости по усилению вычисляется по формуле , где величина  выражена в децибеллах.

 

Контрольные вопросы к лекции 10

 

1. Методы количественной оценки запаса устойчивости.

2. Определение запаса устойчивости по амплитуде (модулю) и запаса устойчивости по фазе.

3. Частотный критерий устойчивости Найквиста.

4. Оценка устойчивости по ЛЧХ.