Частотный критерий устойчивости Найквиста-Михайлова

В основу всех частотных критериев устойчивости положен принцип аргумента. Одним из наиболее часто используемых частотных критериев устойчивости является критерий Найквиста-Михайлова, позволяющий оценить устойчивость замкнутой системы по частотным характеристикам разомкнутой системы.

Для применения критерия Найквиста-Михайлова требуется знание следующих характеристик разомкнутой системы:

а) амплитудно-фазовая характеристика (АФХ), либо логарифмическая амплитудная и фазовая характеристики (ЛАХ, ЛФХ) разомкнутой системы;

б) количество r правых корней характеристического уравнения P(s)=0, если разомкнутая система неустойчива;

в) количество нулевых корней, или корней принадлежащих мнимой оси, характеристического уравнения P(s)=0 разомкнутой системы.

При использовании АФХ разомкнутой системы критерий устойчивости Найквиста-Михайлова формулируется следующим образом.

Если разомкнутая система устойчива (r=0), то замкнутая система так же будет устойчива, если АФХ разомкнутой системы не охватывает точку (–1;j0), при изменении ω от – до + .

Если разомкнутая система неустойчивая (r 0), то замкнутая система будет устойчива, если АФХ разомкнутой системы охватит точку (-1;j0) в положительном направлении r раз при изменении ω от – до + , где r-количество правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

В случае, когда корней характеристического уравнения P(s)=0 разомкнутой системы нулевые, например у систем, передаточная функция которых содержит интегрирующих звеньев,

, (1)

АФХ разомкнутой системы при =0 имеет неопределенность так, как амплитудная характеристика при равна .

Устранение этой неопределенности при переходе от бесконечно малых частот отрицательного знака к бесконечно малым частотам положительного знака осуществляется поворотом ветви АФХ по окружности бесконечного радиуса на угол , то есть по часовой стрелке.

При практическом применении критерия Найквиста-Михайлова количество охватов АФХ точки (-1;j0) удобно определять по количеству пересечений АФХ вещественной оси на интервале (; –1).

Обозначим П -количество пересечений сверху вниз, а П -количество пересечений снизу вверх АФХ разомкнутой системы вещественной оси на участке (;–1). При этом направление означает увеличение фазы, а направление – ее уменьшение.

Тогда при устойчивой в разомкнутом состоянии системе (r=0), замкнутая система будет устойчива, если

П –П =0 (2)

во всем диапазоне частот от – до + .

Если разомкнутая система неустойчива (r 0), то замкнутая система будет устойчива, если

П –П = r. (3)

Используя соотношения (2) и (3) можно перейти к формулировке критерия Найквиста-Михайлова по логарифмическим характеристикам. В этом случае рассматривается разность пересечений ЛФХ разомкнутой системы уровня снизу вверх и сверху вниз при положительных значениях ЛАХ в диапазоне частот от 0 до + .

Если разомкнутая система устойчива (r=0), то замкнутая система является устойчивой при условии

П –П =0 (4)

Если разомкнутая система не устойчива (r 0), то замкнутая система будет устойчива при условии

П –П = (5)

При практическом применении критерия Найквиста-Михайлова, устойчивость замкнутой системы можно оценить по запасам устойчивости. Для этого введем в рассмотрение частоту , при которой и частоту среза ω _ср, при которой

или ,

где А(ω) – амплитудно-частотная характеристика САУ.

Запас устойчивости по фазе - это величина, показывающая, на сколько можно уменьшить фазу системы на частоте среза, чтобы устойчивая прежде система оказалась на границе устойчивости:

(ω_ср) (6)

Запас устойчивости по амплитуде – это величина, показывающая, во сколько раз можно увеличить или уменьшить передаточный коэффициент системы при неизменных значениях всех остальных параметров, чтобы устойчивая прежде система оказалась на границе устойчивости:

H = – H_дб (ω_π). (7)

Если замкнутая система устойчивая, то она имеет запасы устойчивости и по амплитуде и по фазе .

На рис.1-4 показаны различные варианты применения критерия Найквиста-Михайлова.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Рассмотрим примеры определения устойчивости системы по критерию Найквиста-Михайлова.

Пример 1. Определить устойчивость замкнутой системы, если передаточная функция разомкнутой системы

Решение: Для определения устойчивости замкнутой системы по критерию Найквиста-Михайлова необходимо построить годограф Найквиста-Михайлова, т.е. амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы, описываемую выражением: Для построения АФХ воспользуемся возможностями программы MatLab. Ниже приведена программа, осуществляющая построение АФХ для 200 значений частоты в диапазоне а также таблица значений частоты , вещественной - и мнимой - частотных характеристик, по которым можно вручную построить график АФХ.

>>w=logspace(-2,2,200); %Создаем 200 значений частоты , равностоящих друг от друга в логарифмическом масштабе.

>>WW=10./((0.6*j*w+1).*(0.4*j*w+1).*(0.1*j*w+1)); %Записываем выражение для функции, которая будет вычислять значения АФХ.

>>plot(real(ww),imag(ww),real(ww),-imag(ww)); %Создаем график зависимости мнимой частотной характеристики от вещественной как для положительных так для отрицательных частот рис.5.

>>grid on %Наносим сетку.

Выведем таблицу зависимости вещественной и мнимой частотных характеристик от частоты , содержащую каждое 20-е значение от данных, хранящихся в рабочем пространстве.

>>i=1:10;

>> P(i)=real(ww(i*20)); %Выведем каждое 20-е значение от вещественной, мнимой характеристик и частоты .

>> Q(i)=imag(ww(i*20));

>> wp(i)=w(i*20);

>> [wp;P;Q] %Объединяем эти данные в таблицу из 3-х строк и 10-ти столбцов и выводим в командное окно.

ans =

Columns 1 through 7

0.0241 0.0608 0.1534 0.3872 0.9771 2.4658 6.2226

9.9950 9.9679 9.7974 8.7802 4.3189 -1.5992 -0.8158

-0.2649 -0.6675 -1.6661 -3.9277 -6.7302 -3.5252 -0.0712

Columns 8 through 10

15.7029 39.6269 100.0000

-0.0658 -0.0022 -0.0001

0.0601 0.0061 0.0004

Из графика на рис.5 видно, что АФХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами -1,j0 (нет пересечений АФХ с отрезком вещественной оси ). Следовательно система в замкнутом состоянии будет устойчивой.

Рис.5

Пример 2. Определить устойчивость замкнутой системы, если передаточная функция разомкнутой системы

Решение: Так же как и в предыдущем примере строим АФХ разомкнутой системы для диапазона частотой от 0,01 до 10^2,5=316,22 1/сек. График построенной АФХ приведен на рис.6. Поскольку передаточная функция содержит одно интегрирующее звено в точке АФХ будет претерпевать разрыв, причем приращение фазы при будет равно . Это изменение фазы условно показано в виде кривой, с нанесенными на нее стрелками. На рис.6б показан график АФХ в увеличенном масштабе. На графике видно, что АФХ разомкнутой системы дважды пересекает сверху вниз отрезок вещественной оси точке -1,25. Следовательно система в замкнутом состоянии будет неустойчивой.

>>w=logspace(-2,2.5,200);

>>WW=2./((j*w).*(1.5*j*w+1).*(0.8*j*w+1).*(0.1*j*w+1));

>> plot(real(WW),imag(WW),real(WW),-imag(WW))

>> grid on

а) б)

Рис.6.

Пример 3. Определить устойчивость замкнутой системы, если передаточная функция разомкнутой системы

Решение: Так же как и в примере 1 строим АФХ разомкнутой системы для диапазона частот от 10^-2=0,01 до 10^2,5=316,22 1/сек. Программа, реализующая построение АФХ приведена ниже.

>>w=logspace(-2,2.5,200);

>>WW=5./((j*w).^2.*(1.5*j*w+1).*(0.8*j*w+1).*(0.1*j*w+1));

>> plot(real(WW),imag(WW),real(WW),-imag(WW))

>> grid on

Рис.7.

График АФХ приведен на рис.7. Поскольку передаточная функция разомкнутой системы имеет 2 интегрирующих звена, при амплитудно-фазовая характеристика получает приращение фазы На рис.7 это условно показано с помощью кривых меньшей толщины, чем кривые, соответствующие АФХ. Как видно из рис.7 АФХ пересекает вещественную ось дважды снизу вверх на участке . Следовательно система в замкнутом состоянии неустойчива.

Пример 4. Определить устойчивость замкнутой системы, если передаточная функция разомкнутой системы

.

Решение: Строим АФХ разомкнутой системы для диапазона частот ω от 10^-2 = 0,01 до 10^2,5 = 316,22 1/сек.

Программа реализующая построение АФХ для 200 значений частоты, приведена ниже.

>>w=logspace(-2,2.5,200)

>>WW=5./((1.5*j*w+1).*(0.8*j*w-1));

>>plot(real(WW),imag(WW),real(WW),-imag(WW))

>> grid on

Рис. 8

График АФХ приведен на рис. 8. Передаточная функция разомкнутой системы имеет один правый корень, а АФХ разомкнутой системы пересекает отрезок вещественной оси в точке -5 в положительном направлении. Следовательно, система в замкнутом состоянии устойчива.