Выборочная средняя и выборочная дисперсия

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х произведена выборка объёма n.

           Выборочной средней  называется среднее арифметическое значение выборки.

           Если все значения х₁, х₂, …, х_n выборки различны, то

(7.1)

Если же значения признака х₁, х₂, …, х_k имеют соответственно частоты n₁,n₂,…,n_{k ,} причем n₁+n₂₊…+n_k=n, то

(7.2)

           Иногда бывает целесообразным выборочные значения случайной величины разбить на отдельные группы. Для каждой группы можно найти её среднюю.

           Групповой средней  называется среднее арифметическое значений выборки, принадлежащих группе.

           По групповым средним можно найти среднее для всей выборки.

           Общей средней  называется среднее арифметическое значение групповых средних.

Пример 7.1. Найти общую среднюю на основе выборки.

Решение: Находим групповые средние:

Общая средняя

Если варианты х_i – большие числа, то для облегчения вычисления выборочной средней используют следующий приём. Пусть С – константа.

Так как

, то формула (7.1) преобразуется к виду:

(7.3)

Константу С (так называемый ложный нуль) берут такой, чтобы во-первых, разности х_i -C были небольшими и, во-вторых, число С было по возможности целым.

Пример 7.2. Имеется выборка:

Найти выборочную среднюю.

Решение: Берем С =72 и вычисляем разности

Их сумма: α₁+α₂+…+α₁₀=-0,38; их среднее арифметическое: ; выборочная средняя: .

Для того, чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки относительно выборочного среднего вводят понятие выборочной дисперсии.

 Выборочной дисперсией D_в называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений признака Х от выборочной средней .

Если все значения х₁, х₂, …, х_n признака выборки объёма n различны, то

(7.4)

Если же значения признака х₁, х₂, …, х_k имеют соответственно частоты n₁,n₂,…,n_k, причем n₁+n₂₊…+n_k=n, то

(7.5)

Пример 7.3. Выборочная совокупность задана таблицей распределения:

Найти выборочную дисперсию.

Решение: Согласно формулам (7.2) и (7.5) имеем:

.

Выборочным средним квадратическим отклонением называется квадратный корень из выборочной дисперсии:

Можно доказать, что

(7.6)

Так как М(D_в)¹D_r, то выборочная дисперсия D_в является смещенной оценкой генеральной дисперсии D_r. Чтобы получить несмещенную оценку генеральной дисперсии D_{r ,}  вводят понятие так называемой исправленной (эмпирической) дисперсии S², которая определяется формулой:

(7.7)

Исправленная дисперсия (7.7) является несмещенной оценкой генеральной дисперсии

Если варианты х_i – большие числа, то для облегчения вычисления выборочной дисперсии D_в формулу (7.4) преобразуют к следующему виду:

(7.8)

где С – ложный нуль.

Пример 7.4. Через каждый час измерялось напряжение тока в электросети. Результаты измерений в вольтах представлены в таблице 7.1:

Таблица 7.1

Найти оценки для математического ожидания и дисперсии результатов измерений.

Решение: Оценки для математического ожидания и дисперсии найдем по формулам (7.3) и (7.8), положив С =220. Все необходимые вычисления приведены в таблице 7.2:

Таблица 7.2

Следовательно,