Основные понятия нумерации

Нумерация – это способ образования и обозначения чисел. Основные понятия нумерации: число, цифра, разряд, класс.

Формирование понятия о числе является одной из основных задач нач.курса математики. В методической литературе описаны различные подходы к изучению числа: количественный, аксиоматический и подход к пониманию числа как результат измерения величины. Эти подходы взаимосвязаны.

Количественный подход раскрывается в учебниках Моро, Дорофеева и др.

С точки зрения теории множеств, натуральное число выступает как количественная характеристика класса конечных эквивалентных множеств, а основной операцией, на основе которой возникает понятие числа, является взаимно-однозначное соответствие между элементами двух сравниваемых множеств.

Для раскрытия количественного аспекта числа детям предъявляют множества различной природы, содержащие одно и то же количество элементов. При этом используется основной способ получения натуральных чисел, имеющийся в опыте детей – счет элементов разной природы (предметов, движений, звуков). Это позволяет показать независимость числа от природы множеств и задействовать разные каналы восприятия детей. 

Счет – процесс установления взаимно однозначного соответствия между множеством предметов и отрезком натурального ряда от 1 до п, где п численность множества, элементы которого считают.

Для того, чтобы выполнять счет, ученик должен знать название каждого числа отрезка натурального ряда чисел (называть числа в прямом и обратном порядке).

Кроме того, ученики должны усвоить правила счета.

1. Начинать считать можно с любого предмета, если счет количественный, и, с определенного, если счет порядковый.

2. В процессе счета следует каждому предмету ставить в соответствие слово - числительное, т.е. нельзя пропускать предмет при счете.

3. Нельзя один и тот же предмет просчитывать дважды.

4. Слово-числительное (число), называемое при счете последним, является ответом на вопрос «сколько?», т.е. характеризует количество предметов данной совокупности или ответом на вопрос «который по счету?», т.е. характеризует порядковый номер данного предмета.

Аксиоматический подход предполагает изучение числа как элемента натурального ряда чисел, раскрывается порядковый аспект числа. Знакомство с порядковым аспектом происходит при образовании числа прибавлением 1 к предыдущему числу и вычитанием 1 из непосредственно следующего числа.

Аксиоматическое построение дает возможность формировать понятие о числе как члене числовой последовательности. На основании данного подхода выполняются операции присчитывания и отсчитывания.

Число как результат измерения величин

С измерительным аспектом ученики знакомятся, когда натуральные числа получают при измерении величин.

Кроме того в начальной школе рассматривается операторный аспект числа. Он проявляется, когда числа получают в результате выполнения арифметических действий.

Цифра – это знак для обозначения чисел. В начальной школе для записи чисел используется 10 цифр: 0, 1, 2, …9.

Разряд – это место, которое занимает цифра в записи числа. По программе начальной школы изучают числа в пределах 1 000 000, таким образом рассматривают 7 разрядов:

1 разряд или разряд единиц

2 разряд или разряд десятков

3 разряд или разряд сотен

4 разряд или разряд единиц тысяч

5 разряд или разряд десятков тысяч

6 разряд или разряд сотен тысяч

7 разряд или разряд ед.миллионов

При изучении числе больше 10 ученики знакомятся с образованием чисел в результате счета разными счетными единицами (единицами, десятками, сотнями, единицами тысяч, десятками тысяч, сотнями тысяч). Разрядные числа (числа, которые содержат не более 9 единиц только одного разряда, например, 20, 500, 70000) образуются в результате счета только одной счетной единицей. Неразрядные числа (числа, которые содержат единицы нескольких разрядов, например, 24, 348, 3072) образуются в результате счета несколькими счетными единицами.

В большинстве каждые 10 единиц е программ младшие школьники знакомятся с десятичной системой счисления. Это такая система, в которой 10 единиц одного разряда образуют одну единицу следующего разряда. В десятичной системе счисления используются следующие счетные единицы: единица десяток, сотня, единица тысяч, десяток тысяч, сотня тысяч, которые являются и разрядными единицами.

Каждые три последовательных разряда, начиная с первого, образуют класс. Например: единицы, десятки, сотни образуют 1 класс – класс единиц; единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч образуют 2 класс – класс тысяч.

Позиционный принцип записи чисел заключается в том, что значение цифры зависит от места, которое она занимает в записи числа. Например, числа 12 и 21 записаны с помощью одних и тех же цифр 1 и 2. В первом числе 1 обозначает десятки, а во втором – единицы.

Различают устную и письменную нумерации. Устная связана с называнием чисел. Для называния чисел достаточно использовать несколько слов: один, два, три,..., десять («...дцать»), сто, тысяча, миллион, сорок, девяносто. Названия всех остальных чисел получается из данных. Например, название числа 13 образовано из слов «три» и «дцать».

Правила образования названий и чтения чисел.

1. Названия чисел от 10 до 20 образуются с использованием названий, принятых для первых десяти чисел, но имеет свою особенность – при чтении сначала называется младший разряд, затем остальные (один – на – дцать; две – на – дцать).

2. Остальные названия чисел образуются по принципу поразрядности: чтение чисел начинается с единиц высшего разряда.

3. При образовании и чтении многозначных чисел соблюдается принцип чтения по классам.

Письменная нумерация связана с обозначением чисел, для которого используются десять цифр: 0, 1, 2,..., 9.

Основными положениями раздела нумерации являются следующие положения.

1. Для удобства чтения и записи чисел выделяют разряды и классы.

2. Единица каждого разряда содержит 10 единиц предыдущего разряда.

3. Запись многозначного числа – это свернутое обозначение суммы произведений чисел, записанных цифрами данного числа, и соответствующих степеней числа 10.

4. Значение цифры в записи числа зависит от того места, которое занимает цифра в записи числа (принцип поместного значения цифр).

В большинстве программ нумерация изучается по концентрам:

- Числа от 1 до 10 (или «Десяток»)

-Числа от 1 до 100 (или «Сотня»)

-Числа от 1 до 1000 (или «Тысяча»)

- Числа больше тысячи.

Концентр чисел - группа чисел, изучающихся отдельно по общим принципам, методам, программным требованиям.

Такая спиралевидная последовательность изучения темы обусловлена тем, что в каждом следующем концентре используются все положения, определяющие нумерацию чисел в предыдущем концентре, и вводятся новые понятия, позволяющие расширить понятие о натуральном числе.

В каждом из концентров рассматриваются следующие общие вопросы: образование чисел, запись и чтение чисел, состав чисел, сравнение чисел.