Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

Опорный конспект.

В тетради записать дату, классная работа, тему урока. Ознакомится с конспектом. Записать определения, формулы и примеры.

Определение. Геометрической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число. (Первый член геометрической прогрессии также не может быть равен нулю.)

В геометрической прогрессии отношение любого члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно одному и тому же числу. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают буквой q. Правило, по которому образуются члены геометрической прогрессии, можно записать в виде рекуррентной формулы:

Или b_n+1 = b_n • q.

Пример 1. Пусть b₁ = 1 и q = 3. Получаем геометрическую прогрессию: 1; 3; 9; 27; 81; 243; … Это возрастающая последовательность.

Пример 2. Пусть b₁ = 5 и q = –2. В этом случае знаки у членов прогрессии чередуются: 5; – 10; 20; – 40; 80; – 160; 320; …. Это последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей.

Геометрическая прогрессия, члены которой – положительные числа, обладает свойством: любой её член, начиная со второго, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов, т. е.

 

Формулы n –го члена геометрической прогрессий

Формула n –го члена геометрической прогрессии (b_n), первый член которой равен b ₁, a знаменатель равен q:

b_n = b₁ • q^n–1

Формула содержит три переменные. Если известны значения двух из них, то можно вычислить и значение третьей.

Если последовательность (b_n) – геометрическая прогрессия, то для любых натуральных n и m верно равенство: b_n = b_m • q ^n-m.

Пример 3. В геометрической прогрессии b₃ = –1/2, b₆ = 4. Найдём b₁₂.

Так как b₆ = b₃ • q³, то q³ = b₆ / b₃ = –8. Далее имеем: b₁₂ = b₆ • q⁶ = b₆ • (q³)² = 4 • (–8)² = 256.

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

Если q ≠ 1, то

Заметим, что если 0 < q < 1, то удобнее пользоваться формулой суммы, представленной в виде:

Если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой и S_n = nb₁.

Пример 4. Найдём сумму

Слагаемые в этой сумме – члены геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, a знаменатель равен ½. Всего суммируется 11 членов. Имеем:

Пример 5. Найдём сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, второй член которой равен 6, a четвёртый равен 24.

Пользуясь конспектом выполнить № 625,628,635.

Д/З §10.27,10.28 выучить наизусть определения, свойство прогрессии, формулы.

Выполнить 624,656.

Упр. 656 оформление. Перед решением укажи класс, фамилию имя, № задания. Решение сфотографировать и переслать личным сообщением мне в ВК.

https://www.youtube.com/watch?v=b3ZHgQ5NGmA