Для того, чтобы было легче исследовать модель объекта, желательно привести ее к некоторому стандартному виду, для которого уже есть готовые общие решения. Таким «стандартом» в теории управления считается система дифференциальных уравнений первого порядка, которая называется нормальной формой Коши.
Рассмотрим снова модель электродвигателя, считая, что МH(t) = 0 (нагрузки нет). Вспомнив. что ω(t) = φ ’ (t), можно записать равенство (2) см. прошлую лекцию, в виде системы:
Эта система дифференциальных уравнений первого порядка быть записана в матричной форме:
|
Значения φ (t) и ω(t) определяют состояние двигателя в момент времени t. Это значит, что зная их значения в некоторый момент времени t0 и входной сигнал u(t) при всех t > t 0 можно рассчитать поведение объекта для любого последующего момента. При этом предыдущие значения φ (t), ω(t) и u(t) (при t< t0) не играют никакой роли. Поэтому φ (t) и ω(t) называются переменными состояния, а вектор - вектором состояния.
|
|
В теории управления принято обозначать вектор состояния через x(t), вход объекта (сигнал управления) - через u(t). Тогда уравнение в матричной форме (3.1) может быть записана в виде:
|
где , , . Уравнение (4) связывает вход u (t) и вектор состояния x (t), поэтому оно называется моделью вход-состояние.
|
Эта модель называется моделью вход-состояние-выход. Выходная координата для двигателя постоянного тока - это угол поворота вала:
так что и D =0. Если же в качестве выхода принять угловую скорость, то .
С помощью модели (3.3), изменяя матрицы С и D, можно принять за выход любую линейную комбинацию переменных состояния и входа. Во многих практических задачах выход - это одна или несколько переменных состояния, которые мы можем измерить.
Поскольку момент инерции J, сопротивление якоря R и коэффициенты k 1, и k 1 не зависят от времени, матрицы А, В, С и D в модели (3.3) - постоянные. Такие объекты называются стационарными, в отличие от нестационарных объектов, параметры которых изменяются во времени.
Запись моделей в единой форме (3.3) позволяет отвлечься от смысла переменных состояния и исследовать системы разной природы стандартными методами, которые хорошо разработаны и реализованы в современных компьютерных программах.