Конспект урока
Математика
Урок № 16. Экстремумы функции.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) Определение точек максимума и минимума функции
2) Определение точки экстремума функции
3) Условия достаточные для нахождения точек экстремума функции
Основная литература:
«Математика» 10 класс, учебник для учащихся общеобразовательных учреждений
(базовый уровень), А.Г. Мордкович.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
“ Великий философ Конфуций однажды сказал: “Три пути ведут к знанию: путь размышления - это путь самый благородный, путь подражания - это путь самый легкий и путь опыта - это путь самый горький”. Выполняя домашнее задание, каждый из вас пройдёт свой путь к знанию.
Точки, в которых происходит изменение характера монотонности функции – это
ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА.
Точки максимума и минимума – точки экстремума.
Функция может иметь неограниченное количество экстремумов.
Критическая точка – это точка, производная в которой равна 0 или не существует.
Важно помнить, что любая точка экстремума является критической точкой, но не всякая критическая является экстремальной.
Алгоритм нахождения максимума/минимума функции на отрезке:
- найти экстремальные точки функции, принадлежащие отрезку,
- найти значение функции в экстремальных точках из пункта 1 и в концах отрезка,
- выбрать из полученных значений максимальное и минимальное.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Найти точки экстремума функции и определить их характер у=х2 -8х +5
Решение: Найдем производную заданной функции: у’=2x-8
Производную функции приравняем к нулю:2x-8=0
Найдем корни уравнения: х=4
Определяем знак производной функции и изобразим на рисунке,
следовательно, функция возрастает при хϵ ;
убывает при хϵ
Ответ: х=4 точка минимума функции
№2 Найти точки экстремума функции и определить их характер: 𝑦 = 7 + 12𝑥 – 𝑥3
Решение:
Отмети стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:
Посмотрим на наши рисунки выше, правила определения экстремумов:
точка x=-2 точка минимума функции, точка x=2 точка максимума функции.
Ответ: x=-2 точка минимума функции, x=2 точка максимума функции.
№3. Найдите точку минимума функции
Решение. Обратите внимание, что , т.к. х в знаменателе.
Находим производную функции
Производную приравнять к нулю и решить уравнение.
Отмечаем точки на числовом луче.
Эти точки разбили числовой луч на 4 промежутка:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Ответ: 2-точка min функции.