Тема: угол между векторами. Скалярное произведение векторов - скалярное произведение векторов - метод координат в пространстве

Цели урока:

- повторить вопросы теории и рассмотреть основные свойства скалярного произведения;

- сформировать умения вычислять скалярное произведение векторов и находить угол между векторами.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания

Студентам дается задание: внимательно выслушать решение задач и быть готовыми ответить на вопрос: «Верно ли решена задача? Какие замечания к решению у тебя есть?»

Задача № 1

Решение:

(Ответ: -2а2.)

III. Математический диктант

После написания диктанта проводится самопроверка и обсуждение задач, с которыми не справилось большинство студентов.

IV. Изучение нового материала

1. Задание:

- Запишите формулу длины вектора в координатах;

- Выразите из определения скалярного произведения.

- Пусть

Выразите в координатах.

Имеем

2. Основные, свойства скалярного произведения.

Для любых векторов и любого числа k справедливы равенства:

1) причем при

2) (переместительный закон).

3) (распределительный закон).

4) (сочетательный закон).

Рассмотрим для примера свойство 3. Введем прямоугольную систему координат и рассмотрим произвольные векторы Воспользуемся формулой скалярного произведения в координатах и тем, что координаты вектора равны суммам соответствующих координат вектора.

3. Следует обратить внимание на то, что распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых, а скалярное произведение, в котором каждый из сомножителей является суммой векторов, можно вычислить по правилу умножения многочленов.

Рассмотрим, например, скалярное произведение Положим Тогда Таким образом, Свойства скалярного произведения используются в процессе решения задач.

V. Закрепление изученного материала

1. Решение задач по готовому чертежу (рис. 1).

Дано:

Найти:

Решение.

(Ответ: )

Задача 1

Решение:

Вопрос: Какими являются эти векторы?

(Ответ: б) 0; д) √3.)

Задача 2

Дано:

Вычислить:

Решение: (Ответ: 28.)

Вопрос: Какие свойства скалярного произведения использовали при решении этой задачи?

Задача 3

Дано:

Найти: вид

Решение: если 90° < а < 180°. Значит, тупой. (Ответ: тупой.)

2. Самостоятельное решение задач с последующей проверкой.

I уровень

Задача

Дано:

Найти: значение m, при котором векторы перпендикулярны.

Решение: если (Ответ: 4.)

II уровень

Дано:

Найти:

Решение:

III уровень

Даны три силы приложенные к одной точке. Вычислите работу, производимую равнодействующей этих сил, когда точка их приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из А(5; 3; -7) в В(4; 1;-4).

Решение:

1. Найдем равнодействующую

2. Найдем вектор перемещения (Ответ: А = 7.)

VI. Подведение итогов

- Итак, в ходе сегодняшнего урока мы рассмотрели основные свойства скалярного произведения векторов, научились применять их для вычисления скалярного произведения и нахождения углов между векторами.

Домашнее задание

Задача № 1. Дан куб ABCDA1B1C1D1 ребро которого равно 1.

Найдите угол между векторами где точка М - середина ребра СС1.