Проверка гипотезы о равенстве генеральных дисперсий двух нормальных совокупностей

Гипотезы о генеральной дисперсии

 

Проверка гипотезы о значении генеральной дисперсии

Пусть из генеральной совокупности, значения признака которой распределены по нормальному закону с неизвестной дисперсией σ², взята случайная выборка из n независимых наблюдений и вычислена выборочная дисперсия S².

Требуется проверить нулевую гипотезу H₀: σ² = σ₀², где σ₀² – определённое заданное значение генеральной дисперсии.

Для проверки нулевой гипотезы используют статистический критерий χ²: , который при выполнении гипотезы H₀ имеет распределение χ² с k = n – 1 степенями свободы.

Как было сказано ранее, в зависимости от конкурирующей гипотезы выбирают правостороннюю, левостороннюю или двустороннюю критическую область.

Границы критической области χ_кр² определяют по таблице                      χ²-распределения Пирсона для заданного уровня значимости α и числе степеней свободы k = n – 1.

Рассмотрим три случая:

1). Если H₁: σ² = σ₁² > σ₀², то выбирают правостороннюю критическую область и χ_кр²  находят из условия:

P(χ² > χ_кр²(α; n – 1)) = α.

Правило проверки гипотезы заключается в следующем:

1) если χ_н² ≤ χ_кр², то нулевая гипотеза не отвергается;

2) если χ_н² > χ_кр², то нулевая гипотеза отвергается.

2). Если H₁: σ² = σ₁² ≠ σ₀², то строят двустороннюю симметричную критическую область и её границы и находят из условий:

P(χ² > χ_{кр. лев.}²(1 – α / 2; n – 1)) = 1 – α / 2; P(χ² > χ_{кр. прав.}²(α / 2; n – 1)) = α / 2.

Правило проверки гипотезы заключается в следующем:

1) если χ_{кр. лев.}² ≤ χ_н² ≤ χ_{кр. прав.}², то гипотеза не отвергается;

2) если χ_н² < χ_{кр. лев.}² или χ_н² > χ_{кр. прав.}², то гипотеза отвергается.

3). Если H₁: σ² = σ₁² < σ₀², то строят левостороннюю критическую область и χ_кр² находят из условия:

P(χ² > χ_кр²(1 – α; n – 1)) = 1 – α.

Правило проверки гипотезы заключается в следующем:

1) если χ_н² ≥ χ_кр², то гипотеза не отвергается;

2) если χ_н² < χ_кр², то гипотеза отвергается.

Проверка гипотезы о равенстве генеральных дисперсий двух нормальных совокупностей

Пусть X и Y – генеральные совокупности, значения признаков которых распределены по нормальному закону с дисперсиями σ_x² и σ_y². Из этих совокупностей взяты две независимые выборки объёмами n_x и n_y и вычислены исправленные выборочные дисперсии и , причём , где и .

Требуется проверить нулевую гипотезу H₀: σ_x² = σ_y² против конкурирующей гипотезы H₁: σ_x² > σ_y².

Основу для проверки нулевой гипотезы составляет F-критерий: , который при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Фишера –Снедекора (F-распределение) со степенями свободы k₁  = n_x – 1 и k₂ = n_y – 1, где k₁ – число степеней свободы числителя (большей дисперсии), а k₂ – число степеней свободы знаменателя (меньшей дисперсии).

Для проверки гипотезы выбирают правостороннюю критическую область. Границу критической области F_кр. определяют по таблице F- распределения при заданном уровне значимости α  и числе степеней свободы k₁  = n_x – 1 и k₂ = n_y – 1из условия: P(F > F_кр(α; n_x – 1; n_y – 1)) = α.

Правило проверки гипотезы заключается в следующем:

1) если F_н  ≤ F_кр, то гипотеза не отвергается;

2) если F_н  > F_кр, то гипотеза отвергается.

 

Пример 1. Точность работы автоматической линии проверяют по дисперсии контролируемого признака, которая не должна превышать 0,1 мм². По результатам выборочного контроля получены следующие данные:

Контролируемый размер, xi, мм	43,0	43,4	43,7	44,3	44,9
Частота fi	3	7	10	8	2

Требуется проверить при уровне значимости α = 0,01, обеспечивает ли линия требуемую точность.

Решение. Задача состоит в проверке гипотезы о значении генеральной дисперсии H₀: σ₀² ≤ 0,1. Автоматическая линия не обеспечивает требуемой точности, если H₁: σ₁² > σ₀², следовательно, в данном случае строится правосторонняя критическая область.

Для оценки значения генеральной дисперсии используем критерий χ². Наблюдаемое значение критерия вычисляем по формуле: , следовательно, по данным вариационного ряда сначала необходимо вычислить выборочную дисперсию, для чего определяем среднюю арифметическую. Составим вспомогательную таблицу:

xi	fi	xi·fi
43,0	3	129,0	–0,8	0,64	1,92
43,4	7	303,8	–0,4	0,16	1,12
43,7	10	437,0	–0,1	0,01	0,10
44,3	8	354,4	0,5	0,25	2,00
44,9	2	89,8	1,1	1,21	2,42
Итого:	30	1314	0,3	2,27	7,56

Вычисляем наблюдаемое значение критерия χ²:

По таблице χ²-распределения при заданном уровне значимости α = 0,01 и числе степеней свободы k = n – 1 = 30 – 1 = 29 определяем χ_кр² = 49,588.

Сравнивая наблюдаемое и критическое значения критерия, получаем: χ_н²(=75,6) > χ_кр²(=49,588), то есть нулевая гипотеза отвергается. Так как генеральная дисперсия не равна 0,1, автоматическая линия не обеспечивает заданную точность и требуется ее регулировка.

Пример 2. По результатам проведения двух независимых случайных выборок объёмом n₁ = 11 и n₂ = 17, извлечённых из нормальных генеральных совокупностей, получены значения средних квадратических отклонений      S₁ = 8 и S₂ = 6. Проверить при уровне значимости α = 0,05 нулевую гипотезу о равенстве дисперсий генеральных совокупностей H₀: σ₁² = σ₂² при конкурирующей гипотезе H₁: σ₁² > σ₂².

Решение. Вычислим исправленные выборочные дисперсии:

Так как выполнено условие , для проверки нулевой гипотезы можно воспользоваться F-критерием Фишера:

Критическое значение F-критерия находим по таблице распределения Фишера – Снедекора: F_кр (α; n₁ – 1; n₂ – 1) = F_кр (0,05; 10; 16) = 2,49.

Так как F_н(=1,84) < F_кр(=2,49), то можно сделать вывод, что различия между генеральными дисперсиями двух совокупностей не существенны, нулевая гипотеза не отвергается при 5%-ном уровне значимости.