2020-05-11
114Практическая работа №2
.
Тема: «Выполнение действий над векторами».
Цель работы: сформировать у студентов умение находить координаты вектора; производить действия над векторами (сложение, вычитание, умножение вектора на число), вычислять скалярное произведение; вычислять угол между векторами; находить проекцию вектора на ось.
Порядок выполнения работы:
1.Изучить теоретический материал по теме «Вектора в пространстве».
2.Рассмотреть примеры решения типовых заданий.
3. Ответить на контрольные вопросы.
4. Выполнить самостоятельную работу.
5. Сдать отчет по проделанной работе.
Перечень справочной литературы:
1.Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В.Богомолов, Москва «Высшая школа»,2006г.-495с.
2.Богомолов Н.В. Математика: Учеб. для ссузов / Н.В.Богомолов, П.И Самойленко.- М.: Дрофа, 2002.-400 с.
http://www.yaklass.ru/p/geometria/10-klass/vektory-v-prostranstve-9248/poniatie-vektora-v-prostranstve-9286/re-6af61d7b-6a37-43c4-89da-a53ecd204480
Краткие теоретические сведения
Пусть в трехмерном пространстве заданы векторы 
своими координатами.
1). Сложение двух векторов производится поэлементно, то есть если 
, то в координатной форме записывается:
2) Умножение вектора на число.
В случае n-мерного пространства произведение вектора a = {a1; a2;...; an} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:
k · a = {k · a1; k · a2;...; k · an}
Пример 1. Найти произведение вектора a = {1; 2} на 3.
Решение: 3 · a = {3 · 1; 3 · 2} = {3; 6}.
3). Координаты вектора.
Вектор AB заданный координатами точек A(Ax; Ay; Az) и B(Bx; By; Bz) можно найти воспользовавшись следующей формулой
AB = {Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az}
Пример 2. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4; 5), B(3; 1; 1).
Решение: AB = {3 - 1; 1 - 4; 1 - 5} = {2; -3; -4}.
4)Длина вектора.
Если даны две точки пространства 
и 
, то длину отрезка 
можно вычислить по формуле 
Пример 3
Даны точки 
и 
. Найти длину отрезка .
Решение: по соответствующей формуле:
Ответ: 
5. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.
6. Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:
Пример 4. Найти угол между векторами a = {3; 4; 0} и b = {4; 4; 2}.
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a·b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.
Найдем модули векторов:
|a| = √32 + 42 + 02 = √9 + 16 = √25 = 5
|b| = √42 + 42 + 22 = √16 + 16 + 4 = √36 = 6
Найдем угол между векторами:
| cos α = | a · b | = | 28 | = | 14 |
| |a| · |b| | 5 · 6 | 15 | |||
Контрольные вопросы
Как найти сумму векторов заданных координатами?
Как найти разность векторов заданных координатами?
Как найти произведение вектора на число?
Как вычислить координаты середины отрезка?
Как вычислить координаты вектора?
Как найти длину вектора?
Назовите условие равенства двух векторов.
Что такое скалярное произведение векторов?
Как найти косинус угла между векторами?
Назовите условие коллинеарности векторов.
Как проверить перпендикулярность векторов, заданных координатами?
Как найти проекцию вектора на ось?
Задания для самостоятельной работы.
Вариант 1
| № п/п | Название операции | Формулы |
| 1 | Найти сумму векторов | 
|
| 2 | Найти разность векторов | 
|
| 3 | Найти произведение вектора на число |  ,  
|
| 4 | Вычислить координаты середины отрезка | Точка A  . Точка B (-3;4;-1  .Точка С- середина отрезка АВ. С(     ;  .
|
| 5 | Найти координаты вектора | Точка A  Точка B (-1;4;-7 Находим координаты вектора  . Из координат конца вычислить координаты начала вектора
|
| 6 | Найти длину вектора |  
|
| 7 | Вычислить скалярное произведение векторов | 
|
| 8 | Найти косинус угла между векторами | 
|
| 9 | При каких значениях  и  векторы коллинеарны?
| 
|
| 10 | Проверьте перпендикулярность векторов | 
 - условие перпендикулярности векторов
|
Вариант 2
| № п/п | Название операции | Формулы |
| 1 | Найти сумму векторов | 
|
| 2 | Найти разность векторов | 
|
| 3 | Найти произведение вектора на число |  , 
|
| 4 | Вычислить координаты середины отрезка | Точка A  Точка B (2;-3;1 Точка С- середина отрезка АВ. С( ,  
 .
|
| 5 | Найти координаты вектора | Точка A  Точка B (1;-4;7 .
Находим координаты вектора . Из координат конца вычислить координаты начала вектора
|
| 6 | Найти длину вектора | 
|
| 7 | Вычислить скалярное произведение векторов | 
|
| 8 | Найти косинус угла между векторами | 
|
| 9 | При каких значениях и векторы коллинеарны?
| 
|
| 10 | Проверьте перпендикулярность векторов | 
- условие перпендикулярности векторов
|
Критерий оценки: «5» - 9-10 заданий; «4» -7-8 заданий; «3» -5-6 заданий
