Задачи для самостоятельного решения

Решение задач на цилиндр

Примеры решения задач

Задача 1.

Концы отрезка АВ = 13 дм лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен 10 дм, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно 8 дм. Найти: высоту H цилиндра.

Решение. Проведем образующую ВС.

Проведем . Так как и , то .

Таким образом, прямая ОК перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АС и BC плоскости АВС. Следовательно, , значит, расстояние между прямыми АВ и ОО₁ равно ОК; ОК = 8.

Рассмотрим ∆АКО – прямоугольный, по теореме Пифагора: , .

Рассмотрим - прямоугольный, по теореме Пифагора:

BC – образующая цилиндра, и она равна высоте цилиндра.

Ответ: H=5

Задача 2.

Через образующую АА₁, цилиндра проведены две секущие плоскости, одна из которых проходит через ось цилиндра, угол между плоскостями равен φ. Найти: отношение площадей сечений цилиндра этими плоскостями.

Решение. Нарисуем плоскости α – ABB₁A₁ и β - AA₁C₁C в цилиндре. Построим угол между плоскостями на рисунке.

. Значит, угол .

Теперь найдем отношение площадей, которое спрашивается: . (Угол C в треугольнике ABC – прямой, так как он опирается на диаметр нижнего основания цилиндра).

Ответ: .

Задача 3.

Сколько квадратных метров листовой жести пойдет на изготовление трубы длиной 4 м и диаметром 20 см, если на швы необходимо добавить 2,5% площади ее боковой поверхности?

Дано: L=4; d=20см=0,2м. Найти: S.

Решение: Воспользуемся формулой площади полной поверхности цилиндра: .

Радиус равен половине диаметра – 0,1м, а высота цилиндра равна длине нужной трубы – 4м.

Так на швы нужно добавить 2,5% площади ее боковой поверхности, нужно найти: (S+2,5%S). Подставим вместо S формулу площади боковой поверхности, и вычислим:

Ответ: 2,6 м².

Задача 4.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна S. Найти площадь осевого сечения цилиндра.

Решение. . По рисунку площадь осевого сечения – это площадь прямоугольника ABCD. . Из формулы нахождения площади боковой поверхности: . Подставим это выражение в формулу осевого сечения: .

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. 25 м медной проволоки имеют массу 100,7 г. Найдите диаметр проволоки (плотность меди 8,94 г/см³).

Задача 2. Осевое сечение цилиндра - квадрат. Площадь основания равна 1. Найдите объем цилиндра.

Задача 3.

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 28 см, с основанием цилиндра она образует угол в 30°. Определите высоту H этого цилиндра.

Задача 4.

Определите площадь осевого сечения цилиндра, если площадь боковой поверхности цилиндра равна 20π см².

Задача 5.

Дан цилиндр, площадь боковой поверхности которого равна 64π см². Высота цилиндра в два раза больше радиуса основания цилиндра. Вычислите радиус основания цилиндра.

Задача 6.

Треугольная призма вписана в цилиндр. Основанием призмы является прямоугольный треугольник, катеты которого равны 15 см и 20 см. Вычислите радиус цилиндра.

Задача 7.

Во сколько раз увеличивается или уменьшается площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус R увеличивается в 4 раз, а высота H уменьшается в 8 раз?

Задача 8.

Вокруг куба описан цилиндр. Ребро куба равно 16 см. Вычислите объём цилиндра.

Задача 9.

В цилиндр вписана правильная четырёхугольная призма. Высота призмы равна 19 см, а сторона её основания равна 18 см. Вычислите объём цилиндра.

Задача 10.

Высота цилиндра 6 см, радиус основания 5 см. найдите площадь сечения, проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 см от неё.