Решение иррациональных уравнений

Ход урока.

1. Функция и ее свойства.

Для того, чтобы наша работа на уроке была успешной, вспомним некоторые понятия и определения.

 

Вопрос учителя: Для начала вспомним определение степенной функции. Какая функция называется степенной?(ответ запишите в тетрадь)

2) Даны эскизы функций. Какой график соответствует предложенной формуле. (Графики показаны на экране, формулы появляются на экране одна за другой). Указать область определения и область значения функции (в тетради схематический рисунок и ответ).

    

   Вопросы.

а) Есть ли среди названных графиков графики четной функции?

б) А в чем заключается особенность графиков четной функции?

 в) А есть ли среди данных графиков графики нечетных функций?

 А в чем особенность графиков нечетной функции?

1) Самостоятельная работа учащихся. Работаем в тетради

Указать, какой формуле соответствует график функции: написать формулу, а рядом указать номер функции.

Вариант 1(нечетный порядковый номер в журнале)

1) 2) 3) 4) 5)

Вариант 2 (четный порядковый номер в журнале)

1) 2) 3) 4) 5)

3. Степень и ее свойства.Оформить конспект

1) Повторение свойств степени. (Свойства по одному появляются на экране, учащиеся формулируют их).

Свойства степени.

Для любых положительных a и b и любых рациональных m и n верны равенства:

 

 

 

 

2) Упростить выражения,

1.

^2.

^3.

4) Задание учащимся: найти ошибку в решении.

Найдите ошибку в решении:

1. (2a³b^-2)²=2a⁶b^-4=

2. 1,2a· 5a^1,5=1,2 · 5·a·a^1,5=6а^1,5

1. 8y⁵:2y^-4=(8:2) · (y⁵:y^-4)=4y⁹

 

1. Свойства корня.

1) Дайте определение арифметического корня n-й степени.

(Арифметическим корнем натуральной степени n ≥ 2 из неотрицательного числа а  называется неотрицательное число, n- я степень которого равна а).

2)Повторение свойств корней. 

3)Свойства корня:

 

 Если a≥0, b >0,m и n-натуральные числа, причем m≥2, n≥2,то

Вопросы.

1) Чему равен корень n-й степени из произведения?

2) Чему равен корень n-й степени из дроби?

 

Упростить выражения:

.

Ребята, обратите внимание на формулы 6 и 7, где они применяются?

(При решении иррациональных уравнений)

Решение иррациональных уравнений.

1) Какое уравнение называется иррациональным?

(Уравнение называется иррациональным, если неизвестное находится под знаком корня).

2) Решение уравнения Решите уравнение:

Вопрос	Ответ
А может кто-нибудь из вас знает, где в жизни встречаются графики и свойства степенной функции? Приведите примеры.	?

Например, мы наблюдаем ветвь гиперболы на стене, когда подносим к ней горящую свечу в подсвечнике с круглым основанием.

Изредка мы можем видеть полную гиперболу, если лампа с цилиндрическим или коническим абажуром отбрасывает тень на соседнюю стену.                                   

Рассмотрим ещё одну из жизненных ситуаций и решим задачу. 

3) Задача

На учебном полигоне произведён выстрел из зенитного орудия в вертикальном направлении. Требуется определить наибольшую высоту подъёма снаряда, время подъёма и время падения, если начальная скорость снаряда v₀ = 400 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь. 

Вопрос	Ответ
В какой науке находит применение данная задача?	В физике.

То есть мы ещё раз можем убедиться, как многогранно используется данная функция не только в математике, но и в других науках.

Вопрос	Ответ	В тетради записать
Что дано в задаче?	Начальная скорость снаряда v0 = 400 м/с, указано направление выстрела.	Дано: v0 = 400 м/с.
Что нужно найти?	Наибольшую высоту подъёма снаряда, время подъёма и время падения.	Найти .
Записываем решение.		Решение.
Какой функцией выражается закон движения снаряда?	Квадратичной функцией , где g – ускорение силы тяжести, g = 9.8 м/с.	g = 9.8 м/с.
А что будет графиком данной функции?	Графиком данной функции является парабола.	наглядность
Куда будут направлены её ветви?	Ветви параболы направлены вниз.
Где, следовательно, будет наибольшая высота подъёма снаряда?	Наибольшая высота подъёма снаряда будет в вершине параболы.
Что необходимо знать для нахождения наибольшей высоты?	Необходимо найти координаты вершины параболы.
Что мы получим, подставив данные?	;
Как найти время падения снаряда?	Время подъёма снаряда соответствует интервалу возрастания функции и равно 41с. Время падения снаряды соответствует интервалу убывания функции и равно времени подъёма, так как график функции симметричен относительно прямой, проходящей через вершину параболы.
Каков ответ?	Ответ: h = 8.16 км; t1 = t2 ≈ 41c.

 Мы ещё раз убедились, что свойства степенной функции играют немаловажную роль в решении таких интересных жизненных задач.

Фрагмент исследования широко применяется в заданиях ЕГЭ, и чтобы их выполнить, необходимо знать свойства степенной функции.

4) Самостоятельная работа учащихся.

Укажите промежуток, которому принадлежат все корни уравнения

       

Уравнение можно решить с помощью проверки или с помощью равносильной системы.

Записать в тетрадь

1 способ

2 способ

 9) Разбор решения уравнения.(Записать в тетерадь)

(Уравнение и его решение показаны на экране).

Решить уравнение: . Если в уравнении несколько корней, то найти их сумму.

 Решение.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другой при этом определен.

8

III. Задание на дом:

1 уровень - «Проверь себя!», стр. 208 учебника;

2 уровень - По зад ЭКЗ. №3.10.9;10.10;1.33;1.35

IV. Подведение итога урока.

Ребята, чтобы вы могли сказать о значении степенной функции? Почему данная тема важна?

Сегодня на уроке мы еще раз показали, насколько многогранно, изысканно и красиво используются свойства степенной функции в процессе решения математических задач, а также задач из разделов физики.