Домашнее задание: прочитать п. 4.19( о прямоуголнике), выполнить №1044, 1045,1046,1047 и задачи

Аксиомы площади

На самом деле площадь прямоугольника важна не только для того, чтобы научиться считать площади других фигур. Она нужна, чтобы вообще дать определение: а что же такое площадь.

Интуитивно каждый из нас понимает, что такое площадь. Но сформулировать определение не так просто. Обычно говорят, что площадь – это место, которое фигура занимает на плоскости (чем больше площадь, тем больше места она занимает и наоборот).

Давайте попробуем строго определить, что же такое площадь фигуры, каким требованиям она должна удовлетворять, чтобы результат согласовывался с нашим жизненным опытом и здравым смыслом.

Итак, пусть у нас есть фигура (Рис. 1).

Рис. 1. Произвольная фигура

Чтобы найти её площадь, надо задать какой-то стандарт, то есть определить площадь известной фигуры. В математике такой фигурой считается единичный квадрат (квадрат со стороной ). Его площадь считается равной (Рис. 2).

Рис. 2. Единичный квадрат

Теперь, если фигура состоит из двух квадратов, логично считать, что она занимает в раза больше места, то есть её площадь равна сумме площадей двух квадратов, или равна (Рис. 3).

Рис. 3. Фигура площадью

Площадь прямоугольника

Площадь фигуры равна количеству единичных квадратов, которые укладываются внутрь фигуры.

Возьмем прямоугольник: высота см, а длина см. Заполним его квадратами со стороной см. Площадь каждого такого квадрата . Всего поместилось квадратов (Рис. 5).

Рис. 5. Площадь данного прямоугольника

Значит, по определению площади фигуры, площадь нашего прямоугольника равна .

Обязательно ли нужно выкладывать все единичные квадраты внутри прямоугольника, чтобы понять, сколько их поместится? Давайте посмотрим еще раз. Выложим внизу прямоугольника один ряд единичных квадратов. Длина прямоугольника см, а длина стороны квадрата см. Их поместится штук (Рис. 6).

Рис. 6. Первый ряд

Выложим второй ряд. Он будет содержать тоже квадратов (Рис. 7).

Рис. 7. Второй ряд

Сколько всего таких рядов? Так как высота прямоугольника см, то поместится ряда (Рис. 8).

Рис. 8. ряда

Итак, ряда по штук в каждом. Всего квадратов. То есть, чтобы понять, сколько квадратов поместится, не обязательно их рисовать.

А если бы мы считали ряды по-другому? Каждый вертикальный ряд содержит квадрата, и всего помещается таких рядов (Рис. 9): .

Рис. 9. рядов

Рассмотрим прямоугольник побольше. Если бы мы стали рисовать единичные квадраты, то получилось бы рядов по штук в каждом (Рис. 10), или, наоборот, столбиков по в каждом.

Рис. 10. рядов

Рис. 11. рядов

Но этого делать необязательно. Достаточно умножить длину одной стороны на длину другой, причем в любом порядке: .

Итак, мы получили основной вывод: площадь прямоугольника равна произведению длин двух соседних сторон: (Рис. 12).

Рис. 12. Прямоугольник

Если длины сторон измерены в сантиметрах, то площадь по этой формуле получится в : . Если длины в метрах, то значение площади получатся в : .

Примеры

Пример 1. Найти площадь прямоугольника со сторонами м и м (Рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к примеру

Решение

Ответ: .

Пример 2. Найти площадь прямоугольника со сторонами мм и мм.

Решение

Чтобы найти площадь, нам необязательно рисовать прямоугольник. Все нужные данные у нас есть: .

Ответ: .

Может оказаться, что стороны будут измерены в разных единицах.

Пример 3. Найти площадь прямоугольника со сторонами м и см (Рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к примеру 3

В такой ситуации нужно выразить длины сторон в одних и тех же единицах измерения.

Переведем м в сантиметры: . Так как теперь длины у нас в см, то площадь мы получим в : .

Ответ: .

Площадь квадрата

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом (Рис. 15).

Рис. 15. Квадрат

К нему тоже применима формула площади прямоугольника. Но так как стороны равны, то формулу можно записать короче: .

Пример: найти площадь квадрата со стороной м см.

Решение

Запишем длину стороны в одних единицах, в сантиметрах: .

Найдем площадь квадрата: .

Ответ: .

Другой тип задач

Встречаются задачи, где уже известна площадь прямоугольника и длина одной стороны. Требуется найти другую сторону. Разберем этот случай на конкретном примере.

Пример: поле имеет ширину метров. Какова должна быть длина поля, что площадь поля получилась га (Рис. 16)?

Рис. 16. Иллюстрация к примеру

Решение

Начнем с единиц, в которых нам дана площадь. Вспомним, что такое га. Гектар – мера площади, используемая в сельском хозяйстве. Она равна площади квадратного участка земли со стороной м. Вычислим эту площадь в : . То есть площадь в и называют га.

Теперь вернемся к условию задачи. Требуемая площадь поля га. Переведем ее в : . Итак, нам известны ширина поля и его площадь. Не известна длина поля. Обозначим ее (Рис. 17).

Рис. 17. Характеристики поля в

Воспользуемся формулой площади прямоугольника. Площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон: . Площадь и одну длину мы знаем. Подставим в формулу: .

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель: .

Ответ: м.

Заключение

Итак, подведем итоги.

· Если нам известны две стороны прямоугольника (длина и ширина), то площадь прямоугольника находится по формуле (Рис. 18).

Рис. 18. Произвольный прямоугольник

· Если длины сторон даны в м, то площадь получится в , если в мм, то площадь в , если длины в км, то площадь в .

· Если длины сторон указаны в разных единицах измерения (например, в метрах и километрах), то, прежде чем применять формулу, нужно выразить длины в одних и тех же единицах измерения (например, только в метрах).

· Формулу площади квадрата можно записать короче: .

· Если известна площадь и одна сторона прямоугольника, то мы можем найти другую сторону. Для этого площадь нужно разделить на длину известной стороны: .

Нахождение площади прямоугольника – простая, но очень важная задача. В дальнейшем мы будем ее использовать, чтобы получить формулы площадей других фигур.

Домашнее задание: прочитать п. 4.19(о прямоуголнике), выполнить №1044, 1045,1046,1047 и задачи

1. Стороны прямоугольника равны см и см. Чему равна его площадь?