Математика 14 группа урок 12.04.2020.
Тема: Решение логарифмических неравенств.
Задание:
Изучить очень внимательно материал.
Решить № 45.1(а), 45.2(а), 45.4.
Логарифмическое неравенство: решение на примерах
При решении логарифмического неравенства важно правильно определить область допустимых значений (ОДЗ). Рассмотрим:
1. Как найти ОДЗ (область допустимых значений) логарифмического неравенства
2. Решение логарифмического неравенства с основанием больше 1
3. Решение логарифмического неравенства с основанием от 0 до 1
Как найти ОДЗ (область допустимых значений) логарифмического неравенства
Простейшее логарифмическое неравенство можно записать в виде: знак можно заменить на <, ≤ или ≥.
В логарифмическом неравенстве вначале решения нам важно определить область допустимых значений (ОДЗ). Далее мы смотрим на основание логарифма – a. Напомним, что основание логарифма должно быть положительным, и не должно равняться единице.
Если у логарифма в неравенстве а > 1, то знак неравенства не меняется.
|
|
Если у логарифма в неравенстве 0 < а < 1, то знак неравенства меняется на противоположный.
Рассмотрим примеры.
Решение логарифмического неравенства с основанием больше 1
Вначале определяем ОДЗ: 2х + 4 > 0
Решаем это простейшее неравенство и получаем х > -2.
Таким образом, область допустимых значений данного неравенства х > -2.
Далее решаем непосредственно логарифмическое неравенство. Так как основание логарифмов (основание = 2) в неравенстве больше единицы, знак неравенства сохраняется: Так как логарифмы в неравенстве имеют одинаковое основание, то мы их можем просто отбросить и решить неравенство вида
Учитывая ОДЗ, определяем окончательный ответ.
Отметим полученные значения на числовой оси:
Решение логарифмического неравенства с основанием от 0 до 1
Теперь разберем то же самое неравенство, только основание логарифма будет равно ½. Определяем ОДЗ, как и в прошлом примере, х > -2.
Далее смотрим на основание логарифма. В данном случае основание равно ½, т.е. находится в области от 0 < а < 1. В этом случае при переходе от логарифмического неравенства к линейному знак исходного неравенства меняется на противоположный. Получим:
в результате:
Вспоминаем про ОДЗ и определяем окончательный ответ. Отметим полученные точки на числовой
оси: Таким образом, решением нашего неравенства является:
ПРИМЕРЫ
1.Решить неравенство:
ОДЗ:
Решение:
Так как основание логарифма больше 1, то знак неравенства сохраняем:
Ответ:
2.Решить неравенство:
|
|
ОДЗ:
Решение:
Так как основание логарифма меньше 1, то знак неравенства меняем:
Пересекаем решение и ОДЗ, имеем:
3.Решить неравенство:
ОДЗ:
Решим методом интервалов. Корень числителя – , корень знаменателя – эта точка выколота всегда, корень числителя – тоже выколотая точка, так как знак строгий. Таким образом, .
Решение:
Переходим к сравнению подлогарифмических выражений, знак сохраняем: основание больше 1:
Корень числителя – , корень знаменателя – эта точка выколота всегда, корень числителя – точка закрашенная, она войдет в решение, так как знак неравенства не строгий. Таким образом, .
При наложении решения на ОДЗ получим:
Ответ: .