Теорема о структуре общего решения неоднородного ЛДУ n-го порядка. Теорема о наложении частных решений.
– линейный дифференциальный оператор с переменными коэффициентами
Теорема (о структуре общего решения неоднородного ЛДУ n-го порядка).
Пусть – частное решение ЛНДУ . Тогда
Док-во: нужно доказать, что такие, что функция – решение ЛНДУ, удовлетворяющее начальным условиям
.
Решение задачи Коши существует и определено на в силу теоремы существования. Рассмотрим разность :
Т.е. – решение ЛОДУ; – ФСР ЛОДУ;
Теорема (о наложении частных решений).
Пусть – частное решение ЛНДУ; ; – частное решение ЛНДУ; . Тогда – частное решение ЛНДУ
Док-во:
Нахождение частных решений неоднородного ЛДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
Пусть – линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Рассмотрим ЛНДУ:
– квазимногочлен;
– многочлен степени ;
Тогда частное решение ЛНДУ (2.12.1) вида
|
|
,
– многочлен степени ; , если не является корнем характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ; если – корень, то равен кратности корня .
Замечание. Коэффициенты - неопределенные (заранее не известные), находятся методом неопределенных коэффициентов.
Пример 1.
Соответствующее ЛОДУ: ,
Найдем .
;
– корень характеристического уравнения ЛОДУ кратности
,
,
,
Чтобы найти и , подставим функцию в ЛНДУ:
,
,
,
.
Коэффициент при 2
Коэффициент при .
Получаем СЛАУ относительно и
Рассмотрим ЛНДУ с постоянными коэффициентами
– многочлен степени ;
– многочлен степени ;
Тогда
; – многочлены степени ;
, если не является корнем характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ; равен кратности корня, если является корнем.
Пример 1.
( уравнение колебаний при наличии внешней периодической силы частоты ).
.
,
,
,
.
.
Найдем .
,
( частота внешней силы равна собственной частоте резонанс, амплитуда колебаний неограниченно возрастает ).
Чтобы найти и , подставим в ЛНДУ:
.
Коэффициент при
Коэффициент при
Пример 2.
,
,
,
,
,
,
Чтобы найти и , подствим в ЛНДУ:
Коэффициент при .
Коэффициент при .
Метод вариации постоянных решения неоднородных ЛДУ n-го порядка (вывод для ).
Пусть – линейный дифференциальный оператор с переменными коэффициентами. Рассмотрим ЛНДУ:
Соответствующее ЛОДУ:
Общее решение ЛОДУ:
.
– ФСР ЛОДУ,
– произвольные постоянные.
Теорема. Общее решение ЛНДУ () имеет вид
,
– ФСР соответствующего ЛОДУ,
производные функций определяются из СЛАУ
|
|
Замечание 1. СЛАУ (2.13.2) имеет единственное решение для , т.к. ее определитель ().
Замечание 2. Функций
Тогда
,
– произвольные постоянные.
Док-во (случай ). Рассмотрим ЛНДУ
– линейный дифференциальный оператор 2-го порядка.
– произвольные постоянные
СЛАУ (2.13.2) имеет вид
, или
.
1. Покажем, что если и удовлетворяют (2.13.3), то функция – решение ЛНДУ (2.13.1).
в силу (2.13.3)).
в силу (2.13.3)).
Тогда
Таким образом – решение ЛНДУ (2.13.1).
2. Решив СЛАУ (2.13.3), получим решение вида
.
Покажем, что для , такие, что решение , соответствующее и , удовлетворяет начальным условиям
.
Для и получим систему
- СЛАУ с определителем , т.к. – ФСР ЛОДУ,
т.е. – общее решение.
Пример.
(метод неопределенных коэффициентов неприменим!).
Соответствующее ЛОДУ:
,
,
,
,
,
,
,
,